Δυναμική σκοτεινών σολιτονίων υπό την επίδραση διαταραχών
Loading...
Date
Authors
Γκόγκου, Αικατερίνη
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Abstract
Type
Type of the conference item
Journal type
Educational material type
Conference Name
Journal name
Book name
Book series
Book edition
Alternative title / Subtitle
Description
Στην παρούσα εργασία, θα μελετηθούν αναλυτικά και αριθμητικά η δυναμική των σκοτεινών σολιτονίων υπό την επίδραση διαταραχών. Σκοπός μας είναι η εφαρμογή της πλήρους θεωρίας διαταραχών για να προσεγγιστούν σκοτεινές σολιτονικές λύσεις της μη γραμμικής εξίσωσης Schrodinger (NLS) υπό την επίδραση συγκεκριμένων διαταραχών. Η βασική ιδέα της μελέτης στηρίχθηκε στην αδιαβατική θεωρία διαταραχών, με βάση την οποία η συναρτησιακή μορφή του σο- λιτονίου παραμένει αμετάβλητη αλλά εισάγεται μια νέα κλίμακα, η αργή κλίμακα, στην οποία μελετάται η εξέλιξη των παραμέτρων του σολιτονίου. Η αδιαβατική θεωρία μας επιτρέπει να χωρίσουμε το πρόβλημα σε δύο περιοχές, την εσωτερική και την εξωτερική. Η εσωτερική περιοχή περιλαμβάνει το σολιτόνιο και τον πυρήνα του. Σε αντίθεση, η εξωτερική περιοχή περιλαμβάνει τις συνοριακές συνθήκες στο άπειρο, δηλαδή το συνεχές υπόβαθρο πάνω στο οποίο εδράζεται το σκοτεινό σολιτόνιο. Οι δύο περιοχές επικοινωνούν με την προσθήκη ενός οριακού στρώματος. Απόρροια του οριακού στρώματος είναι η δημιουργία και η διάδοση ενός ερμαρίου (shelf) γύρω από το σολιτόνιο, το οποίο κινείται με ταχύτητα ίση με εκείνη του συνεχούς υποβάθρου.
Η δυναμική ενός σκοτεινού σολιτονίου εξαρτάται από την εξέλιξη των παραμέτρων του. Μια σημαντική ιδιότητα της εξίσωσης NLS, η ολοκληρωσιμότητα της, η οποία προκύπτει από τον μετασχηματισμό αντίστροφης σκέδασης, μας έδωσε χρήσιμα εργαλεία για τη μελέτη της εξέλιξης των παραμέτρων. Βασιστήκαμε στους διατηρητικούς νόμους, που προκύπτουν με αλγοριθμκό τρόπο από τον μετασχηματισμό αντίστροφης σκέδασης, και καταλήξαμε σε ένα σύστημα ολικών διαφορικών εξισώσεων, με βάση το οποίο περιγράψαμε πλήρως τη μεταβολή των παραμέτρων του σολιτονίου για οποιαδήποτε τυχαία διαταραχή. Ακόμη, επιβεβαιώθηκε η ύπαρξη του ερμαρίου και περιγράφηκε ασυμπτωτικά. Για συγκεκριμένα παραδείγματα διαταραχών τα ασυμπτωτικά αποτελέσματα της θεωρίας συγκρίθηκαν με τα αριθμητικά αποτελέσματα. Η σύγκριση μας έδωσε την ταύτισή τους όσο για ένα σταθερό υπόβαθρο όσο και για ένα μεταβαλλόμενο. Η παρούσα ανάλυση εφαρμόζεται σε ένα ευρύ φάσμα φυσικών προβλημάτων, συμπεριλαμβανομένων γραμμικών και μη γραμμικών αναλωτικών (dissipative) διαταραχών.
In this study, we examine both numerically and analytically the dynamics of dark solitons under the influence of perturbations. Our aim is the implementation of the complete perturbation theory in order to approximate dark soliton solutions of the nonlinear Schrodinger (NLS) equation in the presence of specific higher-order effects. The basic idea leans on the adiabatic approximation of the perturbation theory for solitons. According to this approach the functional soliton shape remains unchanged, but a new slow scale is introduced, with which the evolution of the soliton parameters is studied. The adiabatic approximation permits to partition the problem into two regions, the inner region and the outer region. The inner region consists of the core soliton and the shelf. On the contrary, the outer region involves the boundary conditions at infinity, namely the continuous-wave background in which the dark soliton decays off. A boundary layer is introduced in order to match the two regions. As a result, a shelf develops and propagates around the soliton, which moves with similar velocity to the background velocity. It is shown that the dynamics of dark soliton depends on the evolution of the soliton parameters. The integration of the NLS equation, is an important quality, which arises from the inverse scattering transform (1ST), and gives us relations useful to study the evolution of these parameters. These are based on the conservation laws, which arise from the IST in an algorithmic way, and result in a system of differential equations. According to this system we describe the evolution of the soliton parameters for any perturbation. Moreover, the shelf has been confirmed and described asymptotically. For specific perturbations the analytical results which are derived by the system of ODEs are in accordance with the numerical results, for both constant and slowly evolving background. This analysis is applied to a wide range of physical problems, including linear and nonlinear dissipative perturbations.
In this study, we examine both numerically and analytically the dynamics of dark solitons under the influence of perturbations. Our aim is the implementation of the complete perturbation theory in order to approximate dark soliton solutions of the nonlinear Schrodinger (NLS) equation in the presence of specific higher-order effects. The basic idea leans on the adiabatic approximation of the perturbation theory for solitons. According to this approach the functional soliton shape remains unchanged, but a new slow scale is introduced, with which the evolution of the soliton parameters is studied. The adiabatic approximation permits to partition the problem into two regions, the inner region and the outer region. The inner region consists of the core soliton and the shelf. On the contrary, the outer region involves the boundary conditions at infinity, namely the continuous-wave background in which the dark soliton decays off. A boundary layer is introduced in order to match the two regions. As a result, a shelf develops and propagates around the soliton, which moves with similar velocity to the background velocity. It is shown that the dynamics of dark soliton depends on the evolution of the soliton parameters. The integration of the NLS equation, is an important quality, which arises from the inverse scattering transform (1ST), and gives us relations useful to study the evolution of these parameters. These are based on the conservation laws, which arise from the IST in an algorithmic way, and result in a system of differential equations. According to this system we describe the evolution of the soliton parameters for any perturbation. Moreover, the shelf has been confirmed and described asymptotically. For specific perturbations the analytical results which are derived by the system of ODEs are in accordance with the numerical results, for both constant and slowly evolving background. This analysis is applied to a wide range of physical problems, including linear and nonlinear dissipative perturbations.
Description
Keywords
Σολιτόνια, Κύματα, Διαταραχές, Μηχανική
Subject classification
Σολιτόνια, Κύματα (Μαθηματικά)
Citation
Link
Language
el
Publishing department/division
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Advisor name
Χωρίκης, Θεόδωρος
Examining committee
Χωρίκης, Θεόδωρος
Νούτσος, Δημήτριος
Ξένος, Μιχαήλ
Νούτσος, Δημήτριος
Ξένος, Μιχαήλ
General Description / Additional Comments
Institution and School/Department of submitter
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Table of contents
Sponsor
Bibliographic citation
Βιβλιογραφία : σ. 63
Name(s) of contributor(s)
Number of Pages
63 σ.