Μικτοί όγκοι και η ανισότητα Alexandrov-Fenchel
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Καρασαββαΐδης, Νέστωρ
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
Ο μικτός όγκος μπορεί να περιγραφεί ως ένα συναρτησοειδές που δέχεται ως μεταβλητές
κυρτά σώματα. Η γεωμετρική ερμηνεία του κυρτού όγκου έχει εξέχουσα σημασία στο
τομέα της Κυρτής Γεωμετρίας, καθώς κωδικοποιεί πολλές πληροφορίες που αφορούν στη
μελέτη κυρτών σωμάτων, όπως τον όγκο, την επιφάνεια ή το μέσο πλάτος των σωμάτων
που λαμβάνουν θέση μεταβλητής στο μικτό όγκο.
Μια από τις ισχυρότερες ανισότητες στις οποίες εμφανίζονται μικτοί όγκοι είναι η
ανισότητα Alexandrov-Fenchel. Ας σημειωθεί πως η ανισότητα Brunn-Minkowski, η
κλασσική ισοπεριμετρική ανισότητα, η ανισότητα Urysohn καθώς και η πρώτη ανισότητα
Minkowski, μεταξύ άλλων, αποτελούν άμεσα πορίσματα της ανισότητας Aleksandrov-
Fenchel.
Πρωταρχικοί στόχοι της παρούσας μεταπτυχιακής εργασίας είναι η κατανόηση σε βάθος
της έννοιας των μικτών όγκων, των ιδιοτήτων και των εφαρμογών τους, καθώς και των
απαιτούμενων εργαλείων για την απόδειξη της ανισότητας Aleksandrov-Fenchel. Μεταξύ
των σκοπών αυτής της διατριβής είναι να συζητηθούν ορισμένα πρόσφατα αποτελέσματα
που σχετίζονται με την εν λόγω ανισότητα.
Για παράδειγμα, ο χαρακτηρισμός της ισότητας στην ανισότητα Aleksandrov-Fenchel
αποτελεί ανοιχτό πρόβλημα ήδη από την εποχή του Minkowski. Πολύ πρόσφατα
(Φεβρουάριος του 2019), οι Yair Shenfeld και Ramon van Handel σε κοινή τους δημοσίευση
με τίτλο “Extremals in Minkowski’s quadratic inequality” έδωσαν πλήρη απάντηση στο
πρόβλημα για την ειδική περίπτωση που είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως τετραγωνική
ανισότητα minkowski, για κάθε διάσταση n.
Mixed volumes can be described as a functional over the class of convex bodies. Mixed volumes and their geometric interpretation are of great importance in the field of Convex Geometry, since it encodes information concerning convex bodies, such as the volume, the surface area, or the mean width of the convex bodies that are used as variables. One of the more well-known inequalities in which mixed volumes appear is the Alexandrov-Fenchel inequality. Let us also note that the Brunn-Minkowski inequality, the classical isoperimetric inequality, Urysohn’s inequality, as well as Minkowski’s first inequality, among others, are immediate consequences of the Aleksandrov-Fenchel inequality. Primary goals of this master’s thesis are the in-depth comprehension of mixed volumes, their properties and applications, as well as understanding the necessary background to the Aleksandrov Fenchel inequality. As a secondary theme, some recent results regarding the above inequality shall be presented. For example, the characterization of the equality cases in Aleksandrov-Fenchel inequality is an open question since Minkowski’s era. It was only very recently (February of 2019) that Yair Shenfeld and Ramon van Handel in their joint publication titled “Extremals in Minkowski’s quadratic inequality” gave an answer to the problem for the special case more widely known as minkowski's quadratic inequality, in any dimension n.
Mixed volumes can be described as a functional over the class of convex bodies. Mixed volumes and their geometric interpretation are of great importance in the field of Convex Geometry, since it encodes information concerning convex bodies, such as the volume, the surface area, or the mean width of the convex bodies that are used as variables. One of the more well-known inequalities in which mixed volumes appear is the Alexandrov-Fenchel inequality. Let us also note that the Brunn-Minkowski inequality, the classical isoperimetric inequality, Urysohn’s inequality, as well as Minkowski’s first inequality, among others, are immediate consequences of the Aleksandrov-Fenchel inequality. Primary goals of this master’s thesis are the in-depth comprehension of mixed volumes, their properties and applications, as well as understanding the necessary background to the Aleksandrov Fenchel inequality. As a secondary theme, some recent results regarding the above inequality shall be presented. For example, the characterization of the equality cases in Aleksandrov-Fenchel inequality is an open question since Minkowski’s era. It was only very recently (February of 2019) that Yair Shenfeld and Ramon van Handel in their joint publication titled “Extremals in Minkowski’s quadratic inequality” gave an answer to the problem for the special case more widely known as minkowski's quadratic inequality, in any dimension n.
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
Ισοπεριμετρική, Μικτοί όγκοι, Ανισότητα, Isoperimetric, Mixed volumes, Inequality
Θεματική κατηγορία
Ανισότητα
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
el
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Όνομα επιβλέποντος
Σαρόγλου, Χρήστος
Εξεταστική επιτροπή
Σαρόγλου, Χρήστος
Πουρναράς, Ιωάννης
Γιαννούλης, Ιωάννης
Πουρναράς, Ιωάννης
Γιαννούλης, Ιωάννης
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Βιβλιογραφία: 95-96
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
96 σ.
Λεπτομέρειες μαθήματος
item.page.endorsement
item.page.review
item.page.supplemented
item.page.referenced
Άδεια Creative Commons
Άδεια χρήσης της εγγραφής: Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States