Area and Coarea formula
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Τσατσαρώνης, Θεόδωρος
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
Σκοπός της παρούσης μεταπτυχιακής διατριβής είναι η αυστηρή θεμελίωση στο πλαίσιο της Μαθηματικής Ανάλυσης δύο σημαντικών τύπων της Γεωμετρικής Θεωρίας Μέτρου, γνωστών ως Τύποι Area και Coarea. Η δομή που θα ακολουθήσουμε είναι η εξής: Τα δύο πρώτα κεφάλαια της
εργασίας μας είναι εισαγωγικά. Σε αυτά αναπτύσσουμε την απαραίτητη θεωρία
που πρέπει να γνωρίζει ο αναγνώστης, προκειμένου να κατανοήσει το περιεχόμενο
της προκειμένης εργασίας. Αναλυτικότερα, στο Πρώτο Κεφάλαιο παρουσιάζονται
οι βασικές έννοιες της Θεωρίας Μέτρου και θεμελιώνονται τα εργαλεία πάνω
στα οποία θα αναπτύξουμε την θεωρία μας. Στο Δεύτερο Κεφάλαιο, ορίζεται
το Μέτρο Hausdorff, το οποίο πρωταγωνιστεί στους προαναφερθέντες τύπους
και αποδεικνύονται αναλυτικά οι ιδιότητές του. Ακολούθως, παρουσιάζουμε την
συμμετρικοποίηση Steiner, την οποία και αξιοποιούμε για να καταδείξουμε την
λεγομένη Ισοδιαμετρική Ανισότητα, καταλήγοντας σε ένα εξαιρετικής σημασίας
αποτέλεσμα· την ταύτιση του μέτρου Lebesgue με το n-διάστατο μέτρο Hausdorff.
Ακολούθως, στο Τρίτο Κεφάλαιο ορίζουμε την έννοια της απεικόνισης Lips-
chitz και πότε αυτή θα καλείται διαφορίσιμη και αποδεικνύουμε το Θεώρημα του
Rademacher, το οποίο μας εξασφαλίζει την σχεδόν παντού διαφορισιμότητα μιας
τέτοιας απεικόνισης. Το κεφάλαιο επισφραγίζεται με την παρουσίαση ορισμένων
ιδιοτήτων των Γραμμικών Απεικονίσεων του Rn, και με τη βοήθεια του Θεωρή-
ματος της Πολικής Αναπαράστασης, καταλήγουμε σε μια κατάλληλη έννοια για
την Ιακωβιανή μιας Lipschitz απεικόνισης.
Μετά από αυτή τη διαδρομή, μπορούμε να προχωρήσουμε στην απόδειξη του
Τύπου Area, η οποία αποτελεί και τη θεματολογία του Τετάρτου Κεφαλαίου.
Μελετούμε απεικονίσεις Lipschitz f : Rn → Rm για n ≤ m και εξάγουμε
κάποιους χαρακτηριστικούς τύπους για το Ολοκλήρωμα της Ιακωβιανής τους.
Αρχικώς αποδεικνύονται τα προπαρασκευαστικά Λήμματα και στη συνέχεια το
κεντρικό θεώρημα. Το κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την παράθεση ορισμένων
χαρακτηριστικών εφαρμογών.
Το Πέμπτο Κεφάλαιο ασχολείται με την “δυϊκή” μορφή του προβλήματος,
δηλαδή την μελέτη απεικονίσεων Lipschitz f : Rn → Rm για n ≥ m, αυτή
τη φορά. Η δομή του προκειμένου Κεφαλαίου μιμείται το προηγηθέν Τέταρτο Κε-
φάλαιο: Παρουσιάζουμε αρχικά τα Λήμματα που μας οδηγούν στην απόδειξη του
Τύπου Coarea και στη συνέχεια διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε το θεώρημα.
Τέλος,παρουσιάζουμε κάποιες χαρακτηριστικές εφαρμογές. Η διατριβή ολοκληρώ-
νεται με την παράθεση κάποιων αποτελεσμάτων πέραν από την Γ.Θ.Μ., τα οποία
στηρίζονται στους τύπους Area και Coarea και φανερώνουν την σημαντικότητα
αυτών των εργαλείων σε κάθε πτυχή των Μαθηματικών.
The aim of the present Master’s Thesis is to establish rigorously, within the framework of Mathematical Analysis, two mathematical Formulas, known as Area and Coarea Formula. The structure of the Thesis is the following; The first two chapters are introductory. In them we offer a thorough overview of all the concepts the reader needs to be familiar with, in order to better understand the content of our work. In particular, in the Chapter 1 we deal with elements of Measure Theory and we lay the groundwork for the tools on which our work will be based on. In Chapter 2, we define the Hausdorff Measure, which will play a leading part in the aforementioned formulas, and we prove its properties. We then intro- duce the Steiner Symmetrization, which we use in order to prove the so-called Isodiametric Inequality, reaching to a result of high importance; The identifi- cation of the Lebesgue Measure with the n-dimensional Hausdorff Measure on Rn. Afterwards, in Chapter 3, we define the notion of a Lipschitz map and determine when that map is differentiable and in which sense and we prove Rademacher’s Theorem, which ensures us that such a map is almost-everywhere differentiable. We end this Chapter by stating some properties of Linear maps of Rn, and via the Polar Decomposition Theorem, we conclude with an appro- priate notion for the Jacobian of a Lipschitz map. After all of this journey, we are able to proceed in the proof of the Area Formula, which is the subject of Chapter 4. We study Lipschitz mappings of the form f : Rn → Rm for n ≤ m and we derive some special formulas regarding the Integral of their Jacobian. We begin by proving the preparatory Lemmas and then the main theorem. The Chapter is concluded with some characteristic applications. Chapter Five deals with the “dual” form of the problem, i.e. the study of Lipschitz mappings f : Rn → Rm forn ≥ m this time. Its structure mimics the preceding Ch. 4; Firstly, we present in great detail the Lemmas which guide us towards the proof of the Coarea Formula, and then we state and prove the Theorem. Finally, we present some typical applications. The thesis is culminated by presenting some extra results, beyond the G.T.M., which are based on the Area and Coarea formulas and highlight the importance of these tools, across every aspect of Mathematics.
The aim of the present Master’s Thesis is to establish rigorously, within the framework of Mathematical Analysis, two mathematical Formulas, known as Area and Coarea Formula. The structure of the Thesis is the following; The first two chapters are introductory. In them we offer a thorough overview of all the concepts the reader needs to be familiar with, in order to better understand the content of our work. In particular, in the Chapter 1 we deal with elements of Measure Theory and we lay the groundwork for the tools on which our work will be based on. In Chapter 2, we define the Hausdorff Measure, which will play a leading part in the aforementioned formulas, and we prove its properties. We then intro- duce the Steiner Symmetrization, which we use in order to prove the so-called Isodiametric Inequality, reaching to a result of high importance; The identifi- cation of the Lebesgue Measure with the n-dimensional Hausdorff Measure on Rn. Afterwards, in Chapter 3, we define the notion of a Lipschitz map and determine when that map is differentiable and in which sense and we prove Rademacher’s Theorem, which ensures us that such a map is almost-everywhere differentiable. We end this Chapter by stating some properties of Linear maps of Rn, and via the Polar Decomposition Theorem, we conclude with an appro- priate notion for the Jacobian of a Lipschitz map. After all of this journey, we are able to proceed in the proof of the Area Formula, which is the subject of Chapter 4. We study Lipschitz mappings of the form f : Rn → Rm for n ≤ m and we derive some special formulas regarding the Integral of their Jacobian. We begin by proving the preparatory Lemmas and then the main theorem. The Chapter is concluded with some characteristic applications. Chapter Five deals with the “dual” form of the problem, i.e. the study of Lipschitz mappings f : Rn → Rm forn ≥ m this time. Its structure mimics the preceding Ch. 4; Firstly, we present in great detail the Lemmas which guide us towards the proof of the Coarea Formula, and then we state and prove the Theorem. Finally, we present some typical applications. The thesis is culminated by presenting some extra results, beyond the G.T.M., which are based on the Area and Coarea formulas and highlight the importance of these tools, across every aspect of Mathematics.
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
Area formula, Coarea formula, Geometric measure theory
Θεματική κατηγορία
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
en
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Όνομα επιβλέποντος
Νικολιδάκης, Ελευθέριος
Εξεταστική επιτροπή
Πουρναράς, Ιωάννης
Τόλιας, Ανδρέας
Νικολιδάκης, Ελευθέριος
Τόλιας, Ανδρέας
Νικολιδάκης, Ελευθέριος
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
160
Λεπτομέρειες μαθήματος
item.page.endorsement
item.page.review
item.page.supplemented
item.page.referenced
Άδεια Creative Commons
Άδεια χρήσης της εγγραφής: CC0 1.0 Universal