Η έννοια της υλικής δυνάμης στην ανελαστικότητα
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Παπανικολάου, Άννα
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχόλη Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
Η εξίσωση ορμής αποτελεί την βασική εξίσωση της ελαστικότητας, η οποία στη δυναμική αποκαλείται συνήθως εξίσωση κίνησης ενώ στη στατική εξίσωση ισορροπίας. Οι κλασικές δυνάμεις συνεισφέρουν στη γραμμική εξίσωση ορμής. Οι δυνάμεις αυτές διακρίνονται στις μαζικές και στις επιφανειακές. Τα τελευταία χρόνια όμως, αναπτύχθηκε η έννοια της υλικής δύναμης (material forces ή configurational forces). Ο Eshelby [19] το 1951 υπολόγισε τη δύναμη που ασκείται σε μια ατέλεια σε ένα ελαστικό μέσο και εισήγαγε την έννοια των υλικών δυνάμεων την οποία και επέκτεινε αργότερα. Οι υλικές αυτές δυνάμεις έχουν γίνει αντικείμενο μελέτης με ενδιαφέροντα αποτελέσματα που έχουν αντίκτυπο σε σημαντικές εφαρμογές. Σε συνδυασμό με τις υλικές δυνάμεις αναπτύχθηκε και ο όρος του υλικού χώρου στον οποίο αυτές οι δυνάμεις δρουν. Ουσιαστικά, πρόκειται για δυνάμεις που ασκούνται σε όλα εκείνα τα υλικά σημεία στα οποία η ελαστική ενέργεια είναι μη-ομογενής και εμφανίζεται μόνο εάν εκφράσει κανείς την εξίσωση της κίνησης στον υλικό χώρο. Οι υλικές δυνάμεις βρίσκουν τη θέση τους σε μια νέα εξίσωση ισορροπίας, που ονομάστηκε εξίσωση της υλικής ορμής. Στη βιβλιογραφία, η εξίσωση αυτή, πολλές φορές απαντάται ως εξίσωση ψευδορμής. Η εξίσωση της υλικής ορμής ή ψευδορμής διέπει την ισορροπία των υλικών δυνάμεων και αφορά στη συνάρτηση της αντίστροφης κίνησης. Η περιγραφή των υλικών δυνάμεων γίνεται με ένα τανυστή, αντίστοιχο με τον τανυστή τάσεων του Cauchy, τον λεγόμενο τανυστή του Eshelby που είναι ένας τανυστής των υλικών τάσεων.
Η εξίσωση της υλικής ορμής μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της κατανομής των υλικών δυνάμεων και τον προσδιορισμό της συνάρτηση της αντίστροφης απεικόνισης. Εξαιτίας της δυσκολίας για την επίλυση της εξίσωση ψευδορμής, έχουν προταθεί κάποιες ιδέες για διαφορετική προσέγγιση του προβλήματος. Υπάρχουν ήδη, μελέτες για τη λύση του μονοδιάστατου προβλήματος. Ενδεικτικά αναφέρουμε την εφαρμογή της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων στην εξίσωση της υλικής ορμής σε Lagrangian περιγραφή [42]. Επίσης, η χρήση της εξίσωσης της φυσικής ορμής συναρτήσει της αντίστροφης απεικόνισης της κίνησης [30], έχει δειχθεί ότι μπορεί να υπολογίσει τις υλικές δυνάμεις.
Έχει αποδειχθεί ότι η ισορροπία των υλικών δυνάμεων στη διεπιφάνεια είναι απαραίτητη για την πλήρη μαθηματική περιγραφή ενός προβλήματος αλλαγής φάσης [43,44]. Επιπρόσθετα, η έννοια των υλικών δυνάμεων έχει ήδη εφαρμοστεί στη μη-γραμμική θεωρία κατανεμημένων εξαρθρώσεων [70]. Επίσης, έχει αποδειχθεί ότι η ελαχιστοποίηση των υλικών δυνάμεων οδηγεί στη βελτιστοποίηση του πλέγματος στη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων [42].
Από τα παραπάνω, προκύπτει η αναγκαιότητα της διατύπωσης της εξίσωσης της υλικής ορμής, καθώς και ο προσδιορισμός της συνάρτησης της αντίστροφης παραμόρφωσης. Τα δυο αυτά θέματα αποτέλεσαν το σκοπό αυτής της διατριβής.
Πιο συγκεκριμένα, στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μια σύντομη εισαγωγή στη Μηχανική του Συνεχούς Μέσου καθώς και οι βασικές εξισώσεις στο φυσικό χώρο. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό, γίνεται μια σύντομη αναφορά στη Μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων που χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση του προβλήματος.
Το δεύτερο κεφάλαιο είναι αφιερωμένο στον τομέα της Υλικής Μηχανικής που απασχολεί τη διατριβή αυτή. Παρατίθεται μια σύντομη βιβλιογραφική ανασκόπηση για τη Μηχανική του Υλικού Χώρου. Επιπρόσθετα, παρουσιάζονται οι βασικές έννοιες της Eshelbian Μηχανικής καθώς και οι βασικές εξισώσεις στον Υλικό Χώρο.
Στο τρίτο κεφάλαιο διατυπώνεται η εξίσωση ισοζυγίου της φυσικής ορμής, χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας στο σχηματισμό αναφοράς. Έπειτα, με τη βοήθεια της συνάρτησης της ενέργειας παραμόρφωσης διατυπωμένης ως προς την αντίστροφη απεικόνιση παραμόρφωσης και κάνοντας χρήση εννοιών της Υλικής Μηχανικής, διατυπώθηκε η εξίσωση της υλικής ορμής ή ψευδορμής σε Eulerian περιγραφή. Η διατύπωση των εξισώσεων έγινε πρωτίστως για γραμμικά ελαστικά υλικά και έπειτα, για μια πιο γενικευμένη αντίληψη, για Neo-Hookean υλικά.
Στο τέταρτο κεφάλαιο επιλύθηκε η εξίσωση της φυσικής ορμής διατυπωμένη ως προς την αντίστροφη απεικόνιση της κίνησης με σκοπό την εύρεση της απαραμόρφωτης κατάστασης του σώματος. Κατά την εφαρμογή της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων, είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι στην περίπτωση του προβλήματος που εξετάζουμε, ο τύπος του μητρώου στιβαρότητας περιέχει έναν επιπλέον όρο, αυτόν της κλίσης της αντίστροφης παραμόρφωσης, σε σχέση με το μητρώο στιβαρότητας στα κλασσικά προβλήματα Μηχανικής.
Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η εφαρμογή της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων τόσο για γραμμικά όσο και για μη-γραμμικά προβλήματα επίπεδης εντατικής και παραμορφωτικής κατάστασης. Η επίλυση γίνεται με κώδικα MATLAB που αναπτύχθηκε στο εργαστήριο Μαθηματικής Μοντελοποίησης και Επιστημονικών Υπολογισμών, που τροποποιήθηκε κατάλληλα σύμφωνα με την παραπάνω θεωρητική ανάλυση.
v
Εν κατακλείδι, στη διατριβή αυτή, μελετήθηκαν οι εξισώσεις ισορροπίας στον Υλικό Χώρο και διατυπώθηκε η εξίσωση της Υλικής Ορμής στις δύο διαστάσεις για γραμμική και μη γραμμική καταστατική σχέση σε περιγραφή Euler, δηλαδή ως προς την αντίστροφη συνάρτηση της παραμόρφωσης. Πρόκειται για μια μερική διαφορική εξίσωση, δεύτερης τάξης ισχυρά μη γραμμική από την οποία θεωρητικά μπορεί να υπολογιστεί η κατανομή των υλικών δυνάμεων και η απαραμόρφωτη κατάσταση του σώματος όταν δίνεται η παραμορφωμένη. Στην εργασία αυτή καταφέραμε να προσδιορίσουμε την απαραμόρφωτη κατάσταση ενός σώματος με δεδομένη την παραμορφωμένη του κατάσταση και τις συνοριακές συνθήκες με τη βοήθεια της εξίσωσης της φυσικής ορμής διατυπωμένης ως προς την αντίστροφη συνάρτηση της παραμόρφωσης.
Είναι προφανές ότι ο χώρος αυτός επιδέχεται περαιτέρω έρευνα. Θέματα που θα μπορούσαν να ερευνηθούν είναι η εφαρμογή των Πεπερασμένων Στοιχείων στην εξίσωση της Υλικής Ορμής που διατυπώσαμε ώστε να μπορεί να γίνει σύγκριση με τα αποτελέσματα που έχουμε ήδη πετύχει στην παρούσα διατριβή για την εξίσωση της φυσικής ορμής διατυπωμένης ως προς την αντίστροφη απεικόνισης της κίνησης. Επίσης, η διερεύνηση των συνθηκών τύπου Neumann για την εξίσωση της υλικής ορμής θα μπορούσε να είναι ένα ενδιαφέρον θέμα για περαιτέρω έρευνα.
In elasticity, the main equation is the momentum equation which is referred to as equation of motion in dynamics or equilibrium equation in statics. The contributors to the linear momentum equation are the classical forces. These are distinguished in body and surface forces. Recently, the concept of material or configurational force has developed. Eshelby [19] in 1951 calculated the force exerted on a defect in an elastic medium and he introduced the concept of material force which generalized by him later. The material forces have been studied with interesting results that have an impact on critical applications. In combination with the material forces, the concept of material space in which these forces act has been developed. Essentially, it is about forces exerted in all those materials points where the elastic energy is non-homogeneous and appears only when the equation of motion is expressed in material space. Material forces find their position in a new balance equation, called the material momentum equation. In literature, this equation is often referred to as pseudomomentum equation. The equation of material momentum (or pseudomomentum) governs the balance of material forces and concerns the inverse motion function. Essentially, the material forces contribute to the material momentum equation. The description of the material forces is done by a tensor, like the Cauchy stress tensor, the so-called Eshelby material stress tensor. The material momentum equation can be used for the calculation of the material forces distribution and the determination of the inverse motion function. Because of the difficulty in solving the pseudomomentum equation, some ideas for a different approach to the problem have been proposed. There are already studies for how the one-dimensional problem can be solved. Indicatively we report the application of finite element method in the equation of material momentum in Lagrangian description [42]. Also, the use of physical momentum equation expressed with respect to the inverse motion mapping [30] has been shown that can calculate the material forces. It has been proved that the equilibrium of material forces at the interface is a necessary condition for the full mathematical description of a phase transition problem [43, 44]. Additionally, the concept of material forces has already been applied to non-linear theory of distributed dislocations [70]. Also, it has been proved that the minimization of the material forces leads to the optimization of the mesh at the finite element method [42]. From the above arises the necessity of formulating the equation of material momentum, and the determination of the inverse motion mapping. These two subjects were the objectives of this dissertation. More specifically, in the first chapter a brief introduction to the Continuum Mechanics and the basic equations in the physical space is presented. This chapter, also, includes a brief reference to the finite element method which has been used to solve the problem. The second chapter is dedicated to the field of Material Mechanics which concerns this dissertation. A short bibliographic review on the Mechanics of Material Space is given. In addition, the basic concepts of Eshelbian Mechanics and the basic equations in the Material Space are presented. In the third chapter, the balance equation of the physical momentum is formulated, using the conservation principle of energy in the reference configuration. Then, with the aid of the deformation energy function formulated in terms of the inverse deformation mapping and by using concepts of Materials Mechanics, the equation of material momentum or pseudomomentum in Eulerian description has been obtained. The formulation of equations was primarily carried out for linear elastic materials as well as for Neo - Hookean materials to have a more comprehensive view of the issue. In the fourth chapter, the equation of physical momentum, formulated with respect to the inverse deformation mapping, has been solved so as to determine the undeformed status of the body. During the implementation of FEM, it is important to mention that in the problem under study, the stiffness matrix contains an additional term, which is the inverse deformation gradient, in comparison with the stiffness matrix of the standard case. After that, the application of finite element method is carried out for both linear and non-linear problems under plane stress and plane strain conditions. The numerical procedure is being done with MATLAB code that developed in the Laboratory of Mathematical Modeling and Scientific Computing and was suitably modified according to the above theoretical analysis. In conclusion, in this dissertation, the equilibrium equations in the Material Space has been studied and the equation of material Momentum in two dimensions for both linear and nonlinear constitutive equation in Euler description, was formulated, i.e., in terms of the inverse deformation function. It's about a partial differential equation of second order, strongly nonlinear from which theoretically the distribution of material forces and the viii undeformed state of the body can be calculated given the deformed one. In this work, we accomplished to determine the undeformed state of a body given the deformed state and the boundary conditions by means of the equation of the physical momentum formulated in terms of the inverse deformation function. It is obvious that the topic admits further research. Issues that could be explored is the application of FEM in the equation of material Momentum we have formulated so as it might be possible to compare with the already obtained results from the equation of physical momentum in terms of the inverse deformation function. Also, the investigation of the Neumann type conditions for the equation of the material momentum could be an interesting subject for further research.
In elasticity, the main equation is the momentum equation which is referred to as equation of motion in dynamics or equilibrium equation in statics. The contributors to the linear momentum equation are the classical forces. These are distinguished in body and surface forces. Recently, the concept of material or configurational force has developed. Eshelby [19] in 1951 calculated the force exerted on a defect in an elastic medium and he introduced the concept of material force which generalized by him later. The material forces have been studied with interesting results that have an impact on critical applications. In combination with the material forces, the concept of material space in which these forces act has been developed. Essentially, it is about forces exerted in all those materials points where the elastic energy is non-homogeneous and appears only when the equation of motion is expressed in material space. Material forces find their position in a new balance equation, called the material momentum equation. In literature, this equation is often referred to as pseudomomentum equation. The equation of material momentum (or pseudomomentum) governs the balance of material forces and concerns the inverse motion function. Essentially, the material forces contribute to the material momentum equation. The description of the material forces is done by a tensor, like the Cauchy stress tensor, the so-called Eshelby material stress tensor. The material momentum equation can be used for the calculation of the material forces distribution and the determination of the inverse motion function. Because of the difficulty in solving the pseudomomentum equation, some ideas for a different approach to the problem have been proposed. There are already studies for how the one-dimensional problem can be solved. Indicatively we report the application of finite element method in the equation of material momentum in Lagrangian description [42]. Also, the use of physical momentum equation expressed with respect to the inverse motion mapping [30] has been shown that can calculate the material forces. It has been proved that the equilibrium of material forces at the interface is a necessary condition for the full mathematical description of a phase transition problem [43, 44]. Additionally, the concept of material forces has already been applied to non-linear theory of distributed dislocations [70]. Also, it has been proved that the minimization of the material forces leads to the optimization of the mesh at the finite element method [42]. From the above arises the necessity of formulating the equation of material momentum, and the determination of the inverse motion mapping. These two subjects were the objectives of this dissertation. More specifically, in the first chapter a brief introduction to the Continuum Mechanics and the basic equations in the physical space is presented. This chapter, also, includes a brief reference to the finite element method which has been used to solve the problem. The second chapter is dedicated to the field of Material Mechanics which concerns this dissertation. A short bibliographic review on the Mechanics of Material Space is given. In addition, the basic concepts of Eshelbian Mechanics and the basic equations in the Material Space are presented. In the third chapter, the balance equation of the physical momentum is formulated, using the conservation principle of energy in the reference configuration. Then, with the aid of the deformation energy function formulated in terms of the inverse deformation mapping and by using concepts of Materials Mechanics, the equation of material momentum or pseudomomentum in Eulerian description has been obtained. The formulation of equations was primarily carried out for linear elastic materials as well as for Neo - Hookean materials to have a more comprehensive view of the issue. In the fourth chapter, the equation of physical momentum, formulated with respect to the inverse deformation mapping, has been solved so as to determine the undeformed status of the body. During the implementation of FEM, it is important to mention that in the problem under study, the stiffness matrix contains an additional term, which is the inverse deformation gradient, in comparison with the stiffness matrix of the standard case. After that, the application of finite element method is carried out for both linear and non-linear problems under plane stress and plane strain conditions. The numerical procedure is being done with MATLAB code that developed in the Laboratory of Mathematical Modeling and Scientific Computing and was suitably modified according to the above theoretical analysis. In conclusion, in this dissertation, the equilibrium equations in the Material Space has been studied and the equation of material Momentum in two dimensions for both linear and nonlinear constitutive equation in Euler description, was formulated, i.e., in terms of the inverse deformation function. It's about a partial differential equation of second order, strongly nonlinear from which theoretically the distribution of material forces and the viii undeformed state of the body can be calculated given the deformed one. In this work, we accomplished to determine the undeformed state of a body given the deformed state and the boundary conditions by means of the equation of the physical momentum formulated in terms of the inverse deformation function. It is obvious that the topic admits further research. Issues that could be explored is the application of FEM in the equation of material Momentum we have formulated so as it might be possible to compare with the already obtained results from the equation of physical momentum in terms of the inverse deformation function. Also, the investigation of the Neumann type conditions for the equation of the material momentum could be an interesting subject for further research.
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
Ελαστικότητα, Κινηματική, Elasticity, Kinematics
Θεματική κατηγορία
Ελαστικότητα -- Εξισώσεις
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
el
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχόλη Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών
Όνομα επιβλέποντος
Καλπακίδης, Βασίλειος
Εξεταστική επιτροπή
Καλπακίδης, Βασίλειος
Χατζηγεωργίου, Ευάγγελος
Γεργίδης, Λεωνίδας
Χατζηγεωργίου, Ευάγγελος
Γεργίδης, Λεωνίδας
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχόλη Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Βιβλιογραφία: σ. 52-57
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
71 σ.
Λεπτομέρειες μαθήματος
item.page.endorsement
item.page.review
item.page.supplemented
item.page.referenced
Άδεια Creative Commons
Άδεια χρήσης της εγγραφής: Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States