The semigeostrophic equation in twodimensional periodic space and its relation to the Euler equation
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Kalivopoulos, Vasileios
Καλιβόπουλος, Βασίλειος
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
University of Ioannina. School Of Sciences. Mathematics Department
University of Ioannina. School Of Sciences. Mathematics Department
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
We begin with the introduction of the equations that we are going to study. We start
by mentioning the Semi-Geostrophic equation (which we abbreviate as SG) in physical
variables, for which we explain thoroughly the notations we are going to use throughout
the thesis. After that, we make a formal derivation of the aforementioned SG system
and we insert the convexity-in-space requirement for their solutions.
Then, we move on to deriving the dual SG system, which will be the main object
of study in this thesis. The reason one moves past the SG system is that, at a first
glance at least, it provides no evolution equation for the velocity. In order to obtain
the dual SG equations, we first try to understand the continuity equation for a measure
with density. Lastly, we show that the dual velocity (velocity of the dual SG system) is
divergence free as well.
In the second chapter we formulate the equation of a weak solution to the dual SG
system, taking the Lagrangian point of view (for the coordinates describing the image
of the physical flow). We then proceed to solve the dual SG system, in the weak sense
(sometimes referred to as distributional) we have just discussed. We show that we can
have global in time weak solutions, but we do not show any uniqueness result. To obtain
these solutions we construct a family of approximate ones and we prove that their limit
leads to a solution for the dual SG system. We do so with subsequences, which do
not yield uniqueness, unless they are shown to yield the same limit. The approximate
solutions are obtained by solving the measure continuity equation we obtained, with
the help of ordinary differential equations. We also show some interesting properties
while studying the existence of weak solutions to the dual SG equation.
In the next chapter we prove the existence and uniqueness of a smooth solution,
though this time our solution is only local in time. We follow the same steps as in
the proof of existence of weak solutions. We build an approximate sequence and then
we take its limit. Moving on, this time, we can prove uniqueness. We show that if
two solutions exist, then they coincide. We reduce the question of the existence of a
unique solution to the uniqueness of the respective flow, that is, the solution of the
aforementioned ODE. To achieve our goal we implement a Gronwall type argument and
an interpolation argument.
In the final chapter, we try to relate the dual SG system (rewritten as a coupled system
of a continuity equation and a Monge-Ampère equation) to the 2d incompressible Euler
in vorticity-stream formulation. Before we work on this, we briefly present some facts
about the Euler and the Navier-Stokes equations. At last, we show that local smooth
solutions of the dual SG system converge, under some norm, to the 2d incompressible
Euler equation in vorticity-stream formulation.
Finally, this thesis contains an appendix, where there was made an effort to gather
together mathematical notions and results used in this thesis.
Το εισαγωγικό πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζει τα συστήματα της ημιγεωστροφικής και της δυϊκής ημιγεωστροφικής εξίσωσης. Γίνεται η εξαγωγή των δύο συστημάτων και αναφέρεται η προϋπόθεση της κυρτότητας των λύσεων στον χώρο για τη μετάβαση από την πρώτη στη δεύτερη. Στην παρούσα εργασία η δυϊκή ημιγεωστροφική εξίσωση αποτελεί το βασικό αντικείμενο ενασχόλησης. Για να εξαγάγουμε τη δυϊκή ημιγεωστροφική εξίσωση από αυτήν σε φυσικές συντεταγμένες θα κινηθούμε μέσω ενός μέτρου εικόνα και θα καταλήξουμε σε μία εξίσωση συνέχειας για μέτρα με πυκνότητα. Ακόμη, θα αποδείξουμε ότι το σύστημα παραμένει ασυμπίεστο, δηλαδή ότι η δυϊκή ταχύτητα είναι πεδίο μηδενικής απόκλισης. Εν συνεχεία θα ορίσουμε τι είναι μία ασθενής λύση για τη δυϊκή ημιγεωστροφική εξίσωση. Στην πορεία αναζήτησης της σχέσης που πρέπει να ικανοποιεί μία λύση της δυϊκής ημιγεωστροφικής εξίσωσης θα ορίσουμε τη λύση της συνήθους διαφορικής εξίσωσης για την αντίστοιχη ροή, η οποία θα παίξει σημαντικό ρόλο. Μάλιστα, θα δείξουμε και ενδιαφέρουσες ιδιότητες της λύσης αυτής. ΄Επειτα, θα προβούμε στην επίλυση του προβλήματος ύπαρξης λύσεων. Ξεκινάμε με την εύρεση ασθενών λύσεων ολικά στον χρόνο. Για να το πετύχουμε αυτό θα κατασκευάσουμε μια οικογένεια προσεγγιστικών λύσεων και θα βρούμε μια συγκλίνουσα υπακολουθία, το όριο της οποίας θα είναι η ζητούμενη λύση. ΄Οσον αφορά ισχυρότερες λύσεις θα δείξουμε ότι μπορούμε να έχουμε λείες λύσεις (όχι με την κλασική έννοια, αλλά με την ασθενή έννοια στον χώρο και στον χρόνο, όπου τώρα σε κάθε χρονική στιγμή η λύση είναι λεία στον χώρο) τοπικά όμως στον χρόνο. Η συγκεκριμένη λύση, η ύπαρξη της οποίας προκύπτει μέσω των ίδιων βημάτων και επιχειρημάτων όπως προηγουμένως, αποδεικνύεται ότι είναι μοναδική. Αυτό επιτυγχάνεται δείχνοντας ότι για δύο λύσεις, οι αντίστοιχες λύσεις (ροές) της προαναφερθείσας συνήθους διαφορικής εξίσωσης είναι ίσες μέσω της χρήσης ενός επιχειρήματος Gronwall και με την βοήθεια καμπυλών παρεμβολής (interpolating curves). Στο τέλος της διατριβής παρατίθεται ένα παράρτημα όπου έχουν καταγραφεί όσο το δυνατόν περισσότερες μαθηματικές έννοιες και προτάσεις, οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διατριβή.
Το εισαγωγικό πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζει τα συστήματα της ημιγεωστροφικής και της δυϊκής ημιγεωστροφικής εξίσωσης. Γίνεται η εξαγωγή των δύο συστημάτων και αναφέρεται η προϋπόθεση της κυρτότητας των λύσεων στον χώρο για τη μετάβαση από την πρώτη στη δεύτερη. Στην παρούσα εργασία η δυϊκή ημιγεωστροφική εξίσωση αποτελεί το βασικό αντικείμενο ενασχόλησης. Για να εξαγάγουμε τη δυϊκή ημιγεωστροφική εξίσωση από αυτήν σε φυσικές συντεταγμένες θα κινηθούμε μέσω ενός μέτρου εικόνα και θα καταλήξουμε σε μία εξίσωση συνέχειας για μέτρα με πυκνότητα. Ακόμη, θα αποδείξουμε ότι το σύστημα παραμένει ασυμπίεστο, δηλαδή ότι η δυϊκή ταχύτητα είναι πεδίο μηδενικής απόκλισης. Εν συνεχεία θα ορίσουμε τι είναι μία ασθενής λύση για τη δυϊκή ημιγεωστροφική εξίσωση. Στην πορεία αναζήτησης της σχέσης που πρέπει να ικανοποιεί μία λύση της δυϊκής ημιγεωστροφικής εξίσωσης θα ορίσουμε τη λύση της συνήθους διαφορικής εξίσωσης για την αντίστοιχη ροή, η οποία θα παίξει σημαντικό ρόλο. Μάλιστα, θα δείξουμε και ενδιαφέρουσες ιδιότητες της λύσης αυτής. ΄Επειτα, θα προβούμε στην επίλυση του προβλήματος ύπαρξης λύσεων. Ξεκινάμε με την εύρεση ασθενών λύσεων ολικά στον χρόνο. Για να το πετύχουμε αυτό θα κατασκευάσουμε μια οικογένεια προσεγγιστικών λύσεων και θα βρούμε μια συγκλίνουσα υπακολουθία, το όριο της οποίας θα είναι η ζητούμενη λύση. ΄Οσον αφορά ισχυρότερες λύσεις θα δείξουμε ότι μπορούμε να έχουμε λείες λύσεις (όχι με την κλασική έννοια, αλλά με την ασθενή έννοια στον χώρο και στον χρόνο, όπου τώρα σε κάθε χρονική στιγμή η λύση είναι λεία στον χώρο) τοπικά όμως στον χρόνο. Η συγκεκριμένη λύση, η ύπαρξη της οποίας προκύπτει μέσω των ίδιων βημάτων και επιχειρημάτων όπως προηγουμένως, αποδεικνύεται ότι είναι μοναδική. Αυτό επιτυγχάνεται δείχνοντας ότι για δύο λύσεις, οι αντίστοιχες λύσεις (ροές) της προαναφερθείσας συνήθους διαφορικής εξίσωσης είναι ίσες μέσω της χρήσης ενός επιχειρήματος Gronwall και με την βοήθεια καμπυλών παρεμβολής (interpolating curves). Στο τέλος της διατριβής παρατίθεται ένα παράρτημα όπου έχουν καταγραφεί όσο το δυνατόν περισσότερες μαθηματικές έννοιες και προτάσεις, οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διατριβή.
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
SG, Dual SG, Semigeostrophic equation, Euler equation, vorticity-stream formulation, Monge-Ampere, Periodic, Torus, Weak solutions, Smooth solutions, Convergence of dual SG smooth solutions to Euler solution
Θεματική κατηγορία
Partial Differential Equations
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
en
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
University of Ioannina. School Of Sciences. Mathematics Department
University of Ioannina. School Of Sciences. Mathematics Department
Όνομα επιβλέποντος
Giannoulis, Ioannis
Εξεταστική επιτροπή
Giannoulis, Ioannis
Γιαννούλης, Ιωάννης
Σταματάκης, Μάριος
Stamatakis, Marios
Σαρόγλου, Χρήστος
Saroglou, Christos
Γιαννούλης, Ιωάννης
Σταματάκης, Μάριος
Stamatakis, Marios
Σαρόγλου, Χρήστος
Saroglou, Christos
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών
University of Ioannina. School Of Sciences
University of Ioannina. School Of Sciences
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
151
Λεπτομέρειες μαθήματος
item.page.endorsement
item.page.review
item.page.supplemented
item.page.referenced
Άδεια Creative Commons
Άδεια χρήσης της εγγραφής: Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States