Restrictions on isometric immersions in spaces of constant curvature
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Kanellopoulou, Athina Eleni
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
The aim of the thesis is to study isometric immersions under certain geometric
conditions, like having constant mean curvature, relative nullity or being minimal.
Initially, we investigate geometric conditions for isometric immersions with positive
index of relative nullity to be cylinders. There is an abundance of noncylindrical n-
dimensional minimal submanifolds with index of relative nullity n−2, fully described
by Dajczer and Florit [10] in terms of a certain class of elliptic surfaces. Opposed
to this, we prove that nonminimal n-dimensional submanifolds in space forms of
any codimension are locally cylinders provided that they carry a totally geodesic
distribution of rank n − 2 ≥ 2, which is contained in the relative nullity distribution,
such that the length of the mean curvature vector field is constant along each leaf.
The case of dimension n = 3 turns out to be special. We show that there exist elliptic
three-dimensional submanifolds in spheres satisfying the above properties. In fact, we
provide a parametrization of three-dimensional submanifolds as unit tangent bundles
of minimal surfaces in the Euclidean space whose first curvature ellipse is nowhere
a circle and their second one is everywhere a circle. Moreover, we provide several
applications to submanifolds whose mean curvature vector field has constant length,
a much weaker condition than being parallel.
Next, we turn our attention to n-dimensional minimal k-umbilic submanifolds
in the Euclidean space. We establish the relationship between minimal (n − 2)-
umbilic submanifolds and (n − 2)-singular minimal surfaces. We show that minimal,
generic (n − 2)-umbilic submanifolds, n ≥ 4, are (n − 2)-rotational submanifolds
whose profile constitutes the critical points of its ”energy potential” for any variation,
namely the (n − 2)-singular minimal surfaces. In other words, surfaces with minimal
potential energy under gravitational forces. Additionally, we develop a method of
local parametrization of all (n − 2)-singular minimal surfaces, which in turn, allows
us to parametrically describe all n-dimensional, n ≥ 4, minimal hypersurfaces of the
Euclidean space with a nowhere vanishing principal curvature of multiplicity n − 2.
Finally, we provide a classification of flat ruled (n − 2)-singular minimal surfaces and
discus the existence of complete (n − 2)-singular minimal surfaces.
Ο σκοπός αυτής της διατριβής είναι η μελέτη ισομετρικών εμβαπτίσεων υπό ορισ- μένες γεωμετρικές συνθήκες, όπως να έχουν σταθερή μέση καμπυλότητα, σχετική μη- δενοκατανομή ή να είναι ελαχιστικές. Αρχικά, διερευνούμε γεωμετρικές συνθήκες για ισομετρικές εμβαπτίσεις με θετικό δείκτη σχετικής μηδενοκατανομής έτσι ώστε να είναι κύλινδροι. Υπάρχει πληθώρα μη κυλινδρικών n-διάστατων ελαχιστικών υποπολυπτυγ- μάτων με δείκτη μηδενοκατανομής n − 2, τα οποία έχουν περιγραφεί πλήρως από τους Dajczer και Florit [10] υπεράνω μιας συγκεκριμένης κλάσης ελλειπτικών επιφανειών. Αντιθέτως, αποδεικνύουμε ότι μη ελαχιστικά n-διάστατα υποπολυπτύγματα σε χώρους μορφής, οποιασδήποτε συνδιάστασης, είναι τοπικά κύλινδροι, υπό την προϋπόθεση ότι φέρουν μια ολικά γεωδαισιακή κατανομή βαθμίδας n − 2 ≥ 2, η οποία περιέχεται στη σχετική μηδενοκατανομή, και το μήκος του διανυσματικού πεδίου μέσης καμπυλότητας είναι σταθερό κατά μήκος κάθε φύλλου. Η περίπτωση διάστασης n = 3 αποδεικνύεται ότι είναι ιδιαίτερη. Δείχνουμε ότι υπάρχουν τριδιάστατα ελλειπτικά υποπολυπτύγματα σε σφαίρες που ικανοποιούν τις παραπάνω ιδιότητες. Στην πραγματικότητα, παρέχουμε μια παραμετροποίηση όλων των τρισδιάστατων υποπολυπτυγμάτων ως μοναδιαίες εφαπτόμενες δέσμες ελαχιστικών επι- φανειών στον Ευκλείδειο χώρο, των οποίων η πρώτη έλλειψη καμπυλότητας δεν είναι ποτέ κύκλος, ενώ η δεύτερη είναι παντού κύκλος. Επιπλέον, παρέχουμε αρκετές εφαρ- μογές για υποπολυπτύγματα των οποίων το διανυσματικό πεδίο μέσης καμπυλότητας έχει σταθερό μήκος, μια πολύ πιο ασθενής συνθήκη από το να είναι παράλληλο. Στη συνέχεια, στρέφουμε την προσοχή μας σε n-διάστατα ελαχιστικά k-ομφαλικά υποπολυπτύγματα του Ευκλειδείου χώρου. Αποδεικνύουμε τη σχέση μεταξύ ελαχισ- τικών (n − 2)-ομφαλικών υποπολυπτυγμάτων και (n − 2)-ιδιαζουσών ελαχιστικών επι- φανειών. Δείχνουμε ότι ελαχιστικά, generic (n−2)-ομφαλικά υποπολυπτύγματα, n ≥ 4, είναι (n − 2)-εκ περιστοφής υποπολυπτύγματα, των οποίων το προφίλ αποτελεί τα κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς του δυναμικού ενέργειας, τις (n − 2)-ιδιάζουσες ελαχιστικές επιφάνειες. Με άλλα λόγια, οι επιφάνειες αυτές έχουν την ιδιότητα να ελαχιστοποιούν το δυναμικό ενέργειάς τους υπό τη δράση βαρυντικών δυνάμεων. Επι- πλέον, αναπτύσσουμε μια μέθοδο παραμέτρησης, τοπικά, όλων των (n − 2)-ιδιάζουσων επιφανειών, η οποία με τη σειρά της, μας επιτρέπει να ταξινομήσουμε όλες τις n- διάστατες, n ≥ 4, ελαχιστικές υπερεπιφάνειες του Ευκλειδείου χώρου με μια μη μη- δενική κύρια καμπυλότητα πολλαπλότητας n − 2. Τέλος, παρέχουμε μια ταξινόμηση των ισόπεδων ευθειογενών (n − 2)-ιδιάζουσων ελαχιστικών επιφανειών και ερευνούμε την ύπαρξη πλήρων (n − 2)-ιδιάζουσων ελαχιστικών επιφανειών.
Ο σκοπός αυτής της διατριβής είναι η μελέτη ισομετρικών εμβαπτίσεων υπό ορισ- μένες γεωμετρικές συνθήκες, όπως να έχουν σταθερή μέση καμπυλότητα, σχετική μη- δενοκατανομή ή να είναι ελαχιστικές. Αρχικά, διερευνούμε γεωμετρικές συνθήκες για ισομετρικές εμβαπτίσεις με θετικό δείκτη σχετικής μηδενοκατανομής έτσι ώστε να είναι κύλινδροι. Υπάρχει πληθώρα μη κυλινδρικών n-διάστατων ελαχιστικών υποπολυπτυγ- μάτων με δείκτη μηδενοκατανομής n − 2, τα οποία έχουν περιγραφεί πλήρως από τους Dajczer και Florit [10] υπεράνω μιας συγκεκριμένης κλάσης ελλειπτικών επιφανειών. Αντιθέτως, αποδεικνύουμε ότι μη ελαχιστικά n-διάστατα υποπολυπτύγματα σε χώρους μορφής, οποιασδήποτε συνδιάστασης, είναι τοπικά κύλινδροι, υπό την προϋπόθεση ότι φέρουν μια ολικά γεωδαισιακή κατανομή βαθμίδας n − 2 ≥ 2, η οποία περιέχεται στη σχετική μηδενοκατανομή, και το μήκος του διανυσματικού πεδίου μέσης καμπυλότητας είναι σταθερό κατά μήκος κάθε φύλλου. Η περίπτωση διάστασης n = 3 αποδεικνύεται ότι είναι ιδιαίτερη. Δείχνουμε ότι υπάρχουν τριδιάστατα ελλειπτικά υποπολυπτύγματα σε σφαίρες που ικανοποιούν τις παραπάνω ιδιότητες. Στην πραγματικότητα, παρέχουμε μια παραμετροποίηση όλων των τρισδιάστατων υποπολυπτυγμάτων ως μοναδιαίες εφαπτόμενες δέσμες ελαχιστικών επι- φανειών στον Ευκλείδειο χώρο, των οποίων η πρώτη έλλειψη καμπυλότητας δεν είναι ποτέ κύκλος, ενώ η δεύτερη είναι παντού κύκλος. Επιπλέον, παρέχουμε αρκετές εφαρ- μογές για υποπολυπτύγματα των οποίων το διανυσματικό πεδίο μέσης καμπυλότητας έχει σταθερό μήκος, μια πολύ πιο ασθενής συνθήκη από το να είναι παράλληλο. Στη συνέχεια, στρέφουμε την προσοχή μας σε n-διάστατα ελαχιστικά k-ομφαλικά υποπολυπτύγματα του Ευκλειδείου χώρου. Αποδεικνύουμε τη σχέση μεταξύ ελαχισ- τικών (n − 2)-ομφαλικών υποπολυπτυγμάτων και (n − 2)-ιδιαζουσών ελαχιστικών επι- φανειών. Δείχνουμε ότι ελαχιστικά, generic (n−2)-ομφαλικά υποπολυπτύγματα, n ≥ 4, είναι (n − 2)-εκ περιστοφής υποπολυπτύγματα, των οποίων το προφίλ αποτελεί τα κρίσιμα σημεία του συναρτησοειδούς του δυναμικού ενέργειας, τις (n − 2)-ιδιάζουσες ελαχιστικές επιφάνειες. Με άλλα λόγια, οι επιφάνειες αυτές έχουν την ιδιότητα να ελαχιστοποιούν το δυναμικό ενέργειάς τους υπό τη δράση βαρυντικών δυνάμεων. Επι- πλέον, αναπτύσσουμε μια μέθοδο παραμέτρησης, τοπικά, όλων των (n − 2)-ιδιάζουσων επιφανειών, η οποία με τη σειρά της, μας επιτρέπει να ταξινομήσουμε όλες τις n- διάστατες, n ≥ 4, ελαχιστικές υπερεπιφάνειες του Ευκλειδείου χώρου με μια μη μη- δενική κύρια καμπυλότητα πολλαπλότητας n − 2. Τέλος, παρέχουμε μια ταξινόμηση των ισόπεδων ευθειογενών (n − 2)-ιδιάζουσων ελαχιστικών επιφανειών και ερευνούμε την ύπαρξη πλήρων (n − 2)-ιδιάζουσων ελαχιστικών επιφανειών.
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
Manifold, Differential geometry, Mean curvature, Ellipses
Θεματική κατηγορία
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
en
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Όνομα επιβλέποντος
Βλάχος, Θεόδωρος
Εξεταστική επιτροπή
Σάβας-Χαλιλάι, Ανδρέας
Dazcjer, Marcos
Alias, Luis
Πολυμεράκης, Παναγιώτης
Παπαδάκης, Σταύρος
Βλάχος, Θεόδωρος
Σαρόγλου, Χρήστος
Dazcjer, Marcos
Alias, Luis
Πολυμεράκης, Παναγιώτης
Παπαδάκης, Σταύρος
Βλάχος, Θεόδωρος
Σαρόγλου, Χρήστος
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
71