Maximal operators on euclidean spaces
Loading...
Date
Authors
Γκρέπης, Αθανάσιος
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Abstract
Type
Type of the conference item
Journal type
Educational material type
Conference Name
Journal name
Book name
Book series
Book edition
Alternative title / Subtitle
Description
The subject of this master thesis is the study of maximal operators. The structure of this thesis is the following. In the first chapter we introduce two notions that of the distribution function as well as that of the decreasing rearrangement of a given function. We will end this chapter by introducing our first maximal operator. In the next chapter we will introduce the primary maximal operators we will concern ourselves with, the Hardy-Littlewood and the Dyadic one. As we are going to see by studying the first and more specifically its weak-L1 condition, will allow us to prove Lebesgue's Differentiation theorem and its strong Lp-boundedness but in order to reach to that point we first need to study the Dyadic Maximal Operator. By studying the Dyadic Maximal Operator we will deduce important mathematical constructions like the Calderon-Zygmund Decomposition and Marcinkiewicz's Interpolation Theorem which we will also generalize to some extend. After this journey we will move on showing some covering lemmas with the most "significant" that of Besicovitch. Next we will be studying conditions for weights under which the Hardy-Littlewood Maximal Operator is weak-Lp in the respective weighted space. This thesis essentially ends with the Bellman functions. The main themes of this chapter are a theorem regarding the Dyadic Maximal Operator as well as finding the exact form of the Bellman function of three variables of the Dyadic Maximal Operator. At the end there is an appendix presenting results of the elementary measure theory one needs to know in order to understand what this thesis is concerned with.
Το αντικείμενο της παρούσας μεταπτυχιακής διατριβής είναι η μελέτη μεγιστικών τελεστών και έχει την ακόλουθη δομή. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουμε δύο έννοιες, αυτή της συνάρτησης κατανομής καθώς και της φθίνουσας αναδιάταξης μιας συνάρτησης. Κλείνοντας εισάγουμε τον πρώτο μας μεγιστικό τελεστή. Στο επόμενο κεφάλαιο εισάγουμε τους βασικούς μεγιστικούς τελεστές με τους οποίους θα ασχοληθούμε, τον Hardy-Littlewood και τον Δυαδικό. Όπως θα δούμε η μελέτη του πρώτου και πιο συγκεκριμένα το γεγονός ότι είναι ασθενώς-L1 θα μας επιτρέψει να αποδείξουμε το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, καθώς και να αποδείξουμε ότι είναι ασθενώς-Lp όμως για να φτάσουμε σε αυτό το σημείο θα χρειαστεί να μελετήσουμε πρώτα τον Δυαδικό μεγιστικό τελεστή. Μελετώντας τον δεύτερο θα συναντήσουμε σημαντικές μαθηματικές κατασκευές όπως την αποσύνθεση Calderon Zygmund και το θεώρημα παρεμβολής του Marcinkiewicz το οποίο μάλιστα θα το γενικεύσουμε ως ένα βαθμό. Μετά από αυτή τη διαδρομή θα προχωρήσουμε στην απόδειξη κάποιων θεωρημάτων κάλυψης με πιο «εντυπωσιακό» αυτό του Besicovitch. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε συνθήκες για βάρη κάτω από τις οποίες ο μεγιστικός τελεστής Hardy-Littlewood είναι ασθενώς-Lp στον αντίστοιχο χώρο με βάρος. Η εργασία ουσιαστικά τελειώνει με τις λεγόμενες συναρτήσεις Bellman. Τα κύρια θέματα αυτού του κεφαλαίου είναι ένα θεώρημα σχετικά με τον δυαδικό μεγιστικό τελεστή καθώς και η εύρεση της ακριβής μορφής της συνάρτησης Bellman τριών μεταβλητών του δυαδικού μεγιστικού τελεστή. Στο τέλος υπάρχει ένα παράρτημα που περιλαμβάνει τη βασική θεωρία μέτρου που είναι προαπαιτούμενο για να κατανοήσει ένας αναγνώστης το τι πραγματεύεται η εργασία.
Το αντικείμενο της παρούσας μεταπτυχιακής διατριβής είναι η μελέτη μεγιστικών τελεστών και έχει την ακόλουθη δομή. Στο πρώτο κεφάλαιο εισάγουμε δύο έννοιες, αυτή της συνάρτησης κατανομής καθώς και της φθίνουσας αναδιάταξης μιας συνάρτησης. Κλείνοντας εισάγουμε τον πρώτο μας μεγιστικό τελεστή. Στο επόμενο κεφάλαιο εισάγουμε τους βασικούς μεγιστικούς τελεστές με τους οποίους θα ασχοληθούμε, τον Hardy-Littlewood και τον Δυαδικό. Όπως θα δούμε η μελέτη του πρώτου και πιο συγκεκριμένα το γεγονός ότι είναι ασθενώς-L1 θα μας επιτρέψει να αποδείξουμε το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, καθώς και να αποδείξουμε ότι είναι ασθενώς-Lp όμως για να φτάσουμε σε αυτό το σημείο θα χρειαστεί να μελετήσουμε πρώτα τον Δυαδικό μεγιστικό τελεστή. Μελετώντας τον δεύτερο θα συναντήσουμε σημαντικές μαθηματικές κατασκευές όπως την αποσύνθεση Calderon Zygmund και το θεώρημα παρεμβολής του Marcinkiewicz το οποίο μάλιστα θα το γενικεύσουμε ως ένα βαθμό. Μετά από αυτή τη διαδρομή θα προχωρήσουμε στην απόδειξη κάποιων θεωρημάτων κάλυψης με πιο «εντυπωσιακό» αυτό του Besicovitch. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε συνθήκες για βάρη κάτω από τις οποίες ο μεγιστικός τελεστής Hardy-Littlewood είναι ασθενώς-Lp στον αντίστοιχο χώρο με βάρος. Η εργασία ουσιαστικά τελειώνει με τις λεγόμενες συναρτήσεις Bellman. Τα κύρια θέματα αυτού του κεφαλαίου είναι ένα θεώρημα σχετικά με τον δυαδικό μεγιστικό τελεστή καθώς και η εύρεση της ακριβής μορφής της συνάρτησης Bellman τριών μεταβλητών του δυαδικού μεγιστικού τελεστή. Στο τέλος υπάρχει ένα παράρτημα που περιλαμβάνει τη βασική θεωρία μέτρου που είναι προαπαιτούμενο για να κατανοήσει ένας αναγνώστης το τι πραγματεύεται η εργασία.
Description
Keywords
Maximal operators, Covering lemma on Euclidean spaces, Euclidean spaces, Μεγιστικοί τελεστές, Λημματα κάλυψης σε ευκλείδιους χώρου
Subject classification
Euclidean spaces
Citation
Link
Language
en
Publishing department/division
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Advisor name
Νικολιδάκης, Ελευθέριος
Examining committee
Νικολιδάκης, Ελευθέριος
Γιαννούλης, Ιωάννης
Τόλιας, Ανδρέας
Γιαννούλης, Ιωάννης
Τόλιας, Ανδρέας
General Description / Additional Comments
Institution and School/Department of submitter
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Table of contents
Sponsor
Bibliographic citation
Name(s) of contributor(s)
Number of Pages
135 σ.
Course details
Endorsement
Review
Supplemented By
Referenced By
Creative Commons license
Except where otherwised noted, this item's license is described as Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States