Analytical and numerical solutions to nonlinear evolution partial differential equations in fluid dynamics
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Felias, Anastasios
Φελιάς, Αναστάσιος
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
The study of exact solutions to nonlinear equations is an active field of both, pure and applied mathematics. Plenty of the most interesting features of physical systems are hidden in their nonlinear behavior and can only be studied with appropriate methods designed to tackle nonlinearity. Therefore, seeking for suitable solving methods, exact, semi-exact or numerical, is an active task in branches of applied and computational mathematics. Complex phenomena in notable scientific fields, especially in fluid dynamics, cardiac hemodynamics and neuronal dynamics, can be efficiently mathematically modeled in terms of the Womersley, Korteweg–de Vries–Burgers (KdV– B), Benjamin–Bona–Mahony (BBM), Boussinesq, Burgers, Burgers–Huxley (BH), Camassa–Holm (CH), Degasperis–Procesi (DP), Davey–Stewartson (DS) and Kadomtsev–Petviashvili (KP) equations. Localized wave solutions, often referred to as solitary waves or pulses, being traditionally a key object of study in the theory of nonlinear integrable equations, are important classes of solutions to the aforementioned equations. Exact solutions are sought for each of the aforementioned equations, by means of traveling wave, periodic wave and similarity transforms, as well as by implementing the hyperbolic tangent and factorization methods. Through the former, analytical solutions are also presented for both the n-dimensional KdV–B and compound KdV–B equations. The Cole–Hopf Transform is described, converting the viscous Burgers equation to the linear Heat transport equation. Pulse interactions are discussed for the BBM, CH and DP equations. Multishock solutions of the viscous Burgers equation are produced, and their fusion into a sole shock wave is presented. Line solitons are obtained for the KP equation. The Davey–Stewartson (DS) equation is also studied, emphasizing to fluid dynamics applications. Phase plane trajectories are obtained for the CH, DP and KdV–B equations. Weak solution formulation is presented for the CH, DP and inviscid Burgers equations. Additionally, the Rankine–Hugoniot condition is discussed in the implementation of the method of characteristics. Qualitative analysis is performed for the inviscid Burgers equation, and conservative forms in general. Semi-exact solutions are obtained through a homotopy analysis approach. Numerical solutions are derived by means of spectral Fourier analysis and are evolved in time, using the 4th order explicit Runge–Kutta method. The derivation of analytical solutions to the aforementioned mathematical models, is a process of high significance. Such solutions are used to benchmark numerical solvers, perform stability analysis and grasp a better understanding of the studied models. The demonstrated results and images resulted by also utilizing the computational softwares of MATLAB and WOLFRAM MATHEMATICA.
Η μελέτη αναλυτικών λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων συνιστά ένα ενεργό πεδίο έρευνας τόσο των θεωρητικών όσο και των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Πολλά από τα πιο ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά των φυσικών συστημάτων κρύβονται στη μη γραμμική συμπεριφορά τους και μπορούν να μελετηθούν μόνο με κατάλληλες μεθόδους, σχεδιασμένες για την αντιμετώπιση μη γραμμικών προβλημάτων. Επομένως, η αναζήτηση κατάλληλων μεθόδων επίλυσης, αναλυτικών, προσεγγιστικών ή αριθμητικών, είναι ένα ενεργό ερευνητικό πεδίο στον κλάδο των εφαρμοσμένων και υπολογιστικών μαθηματικών. Σύνθετα φαινόμενα σε αξιοσημείωτα επιστημονικά πεδία, όπως είναι η ρευστοδυναμική, η καρδιακή αιμοδυναμική και η νευρωνική δυναμική, μπορούν να μοντελοποιηθούν μαθηματικά με την βοήθεια των εξισώσεων Womersley, Korteweg-de Vries-Burgers (KdV-B), Benjamin–Bona–Mahony (BBM), Boussinesq, Burgers, Burgers–Huxley (BH), Camassa–Holm (CH), Degasperis–Procesi (DP), Davey–Stewartson (DS) και Kadomtsev–Petviashvili (KP). Εντοπισμένες κυματικές λύσεις, συχνά αναφερόμενες ως μονήρη κύματα ή παλμοί, αποτελούνε κυρίαρχο αντικείμενο μελέτης στη θεωρία των μη γραμμικών ολοκληρώσιμων εξισώσεων και συνιστούν σημαντικές κλάσεις λύσεων των προαναφερθέντων εξισώσεων. Σε αυτή την εργασία αναζητούνται αναλυτικές λύσεις για καθεμία από τις προαναφερθείσες εξισώσεις μέσω οδευόντων κυμάτων, περιοδικών κυμάτων και μετασχηματισμών ομοιότητας, καθώς και μέσω των μεθόδων υπερβολικής εφαπτομένης και παραγοντοποίησης. Μέσω της πρώτης, παρουσιάζονται αναλυτικές λύσεις και για τις n-διάστατες εξισώσεις KdV-B και μικτής (compound) KdV-B. Περιγράφεται ο μετασχηματισμός Cole-Hopf, μετατρέποντας την ιξωδική εξίσωση Burgers στην γραμμική εξίσωση μεταφοράς θερμότητας. Αναλύονται κυματικές αλληλεπιδράσεις μέσω των εξισώσεων BBM, CH και DP. Παράγονται πολυ-κρουστικές λύσεις της ιξωδικής εξίσωσης Burgers και παρουσιάζεται η σύντηξη αυτών σε ένα κρουστικό κύμα. Γραμμικά σολιτόνια λαμβάνονται για την εξίσωση KP. Μελετάται επίσης η εξίσωση Davey–Stewartson (DS), με εφαρμογές στη ρευστοδυναμική. Μελετάται ο χώρος φάσεων των εξισώσεων CH, DP και KdV-B. Παρουσιάζεται ο φορμαλισμός της ασθενούς λύσης για τις εξισώσεις CH, DP και την ανιξωδική εξίσωση του Burgers. Επιπλέον, η συνθήκη Rankine-Hugoniot συζητείται στα πλαίσια της μεθόδου των χαρακτηριστικών. Πραγματοποιείται ποιοτική ανάλυση για την ανιξωδική εξίσωση του Burgers και γενικότερα για τις διατηρητικές μορφές. Προσεγγιστικές αναλυτικές λύσεις λαμβάνονται μέσω μεθόδων ομοτοπικής ανάλυσης. Οι αριθμητικές λύσεις προέρχονται μέσω φασματικής ανάλυσης και εξελίσσονται στο χρόνο, χρησιμοποιώντας την άμεση μέθοδο Runge-Kutta 4ης τάξης. Η εύρεση αναλυτικών λύσεων στα προαναφερθέντα μαθηματικά μοντέλα, είναι μια διαδικασία υψίστης σημασίας. Τέτοιες λύσεις χρησιμοποιούνται ευρέως ως σημεία αναφοράς για αριθμητικές μεθόδους επίλυσης, συμβάλουν σημαντικά στην ανάλυση ευστάθειας, καθώς και ενισχύουν την αντίληψη γύρω από αυτά τα, συνήθως περίπλοκα, μοντέλα. Τα αποτελέσματα και οι εικόνες που παρατίθενται, προέκυψαν σε συνδυασμό και με την χρήση των υπολογιστικών προγραμμάτων MATLAB και WOLFRAM MATHEMATICA.
Η μελέτη αναλυτικών λύσεων μη γραμμικών εξισώσεων συνιστά ένα ενεργό πεδίο έρευνας τόσο των θεωρητικών όσο και των εφαρμοσμένων μαθηματικών. Πολλά από τα πιο ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά των φυσικών συστημάτων κρύβονται στη μη γραμμική συμπεριφορά τους και μπορούν να μελετηθούν μόνο με κατάλληλες μεθόδους, σχεδιασμένες για την αντιμετώπιση μη γραμμικών προβλημάτων. Επομένως, η αναζήτηση κατάλληλων μεθόδων επίλυσης, αναλυτικών, προσεγγιστικών ή αριθμητικών, είναι ένα ενεργό ερευνητικό πεδίο στον κλάδο των εφαρμοσμένων και υπολογιστικών μαθηματικών. Σύνθετα φαινόμενα σε αξιοσημείωτα επιστημονικά πεδία, όπως είναι η ρευστοδυναμική, η καρδιακή αιμοδυναμική και η νευρωνική δυναμική, μπορούν να μοντελοποιηθούν μαθηματικά με την βοήθεια των εξισώσεων Womersley, Korteweg-de Vries-Burgers (KdV-B), Benjamin–Bona–Mahony (BBM), Boussinesq, Burgers, Burgers–Huxley (BH), Camassa–Holm (CH), Degasperis–Procesi (DP), Davey–Stewartson (DS) και Kadomtsev–Petviashvili (KP). Εντοπισμένες κυματικές λύσεις, συχνά αναφερόμενες ως μονήρη κύματα ή παλμοί, αποτελούνε κυρίαρχο αντικείμενο μελέτης στη θεωρία των μη γραμμικών ολοκληρώσιμων εξισώσεων και συνιστούν σημαντικές κλάσεις λύσεων των προαναφερθέντων εξισώσεων. Σε αυτή την εργασία αναζητούνται αναλυτικές λύσεις για καθεμία από τις προαναφερθείσες εξισώσεις μέσω οδευόντων κυμάτων, περιοδικών κυμάτων και μετασχηματισμών ομοιότητας, καθώς και μέσω των μεθόδων υπερβολικής εφαπτομένης και παραγοντοποίησης. Μέσω της πρώτης, παρουσιάζονται αναλυτικές λύσεις και για τις n-διάστατες εξισώσεις KdV-B και μικτής (compound) KdV-B. Περιγράφεται ο μετασχηματισμός Cole-Hopf, μετατρέποντας την ιξωδική εξίσωση Burgers στην γραμμική εξίσωση μεταφοράς θερμότητας. Αναλύονται κυματικές αλληλεπιδράσεις μέσω των εξισώσεων BBM, CH και DP. Παράγονται πολυ-κρουστικές λύσεις της ιξωδικής εξίσωσης Burgers και παρουσιάζεται η σύντηξη αυτών σε ένα κρουστικό κύμα. Γραμμικά σολιτόνια λαμβάνονται για την εξίσωση KP. Μελετάται επίσης η εξίσωση Davey–Stewartson (DS), με εφαρμογές στη ρευστοδυναμική. Μελετάται ο χώρος φάσεων των εξισώσεων CH, DP και KdV-B. Παρουσιάζεται ο φορμαλισμός της ασθενούς λύσης για τις εξισώσεις CH, DP και την ανιξωδική εξίσωση του Burgers. Επιπλέον, η συνθήκη Rankine-Hugoniot συζητείται στα πλαίσια της μεθόδου των χαρακτηριστικών. Πραγματοποιείται ποιοτική ανάλυση για την ανιξωδική εξίσωση του Burgers και γενικότερα για τις διατηρητικές μορφές. Προσεγγιστικές αναλυτικές λύσεις λαμβάνονται μέσω μεθόδων ομοτοπικής ανάλυσης. Οι αριθμητικές λύσεις προέρχονται μέσω φασματικής ανάλυσης και εξελίσσονται στο χρόνο, χρησιμοποιώντας την άμεση μέθοδο Runge-Kutta 4ης τάξης. Η εύρεση αναλυτικών λύσεων στα προαναφερθέντα μαθηματικά μοντέλα, είναι μια διαδικασία υψίστης σημασίας. Τέτοιες λύσεις χρησιμοποιούνται ευρέως ως σημεία αναφοράς για αριθμητικές μεθόδους επίλυσης, συμβάλουν σημαντικά στην ανάλυση ευστάθειας, καθώς και ενισχύουν την αντίληψη γύρω από αυτά τα, συνήθως περίπλοκα, μοντέλα. Τα αποτελέσματα και οι εικόνες που παρατίθενται, προέκυψαν σε συνδυασμό και με την χρήση των υπολογιστικών προγραμμάτων MATLAB και WOLFRAM MATHEMATICA.
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
Fluid dynamics, Mathematical modeling, Partial differential equations, Cardiac hemodynamics, Ρευστοδυναμική, Μαθηματική μοντελοποίηση, Μερικές διαφορικές εξισώσεις, Καρδιακή αιμοδυναμική
Θεματική κατηγορία
Fluid dynamics
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
en
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Όνομα επιβλέποντος
Ξένος, Μιχαήλ
Εξεταστική επιτροπή
Ξένος, Μιχαήλ
Καρακατσάνη, Φωτεινή
Τζιρτζιλάκης, Ευστράτιος
Καρακατσάνη, Φωτεινή
Τζιρτζιλάκης, Ευστράτιος
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Βιβλιογραφία: σ. 89-97
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
97 σ.
Λεπτομέρειες μαθήματος
item.page.endorsement
item.page.review
item.page.supplemented
item.page.referenced
Άδεια Creative Commons
Άδεια χρήσης της εγγραφής: Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States