Minimal surfaces in 3-manifolds with non-negative scalar curvature.
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Papadakis, Michail
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
A Riemannian submanifold is called minimal when it is a critical point of the functional of the volume, and stable when it really minimizes the volume. The minimality is described by a nonlinear elliptic system of partial differential equations, whereas the stability is described by the spectrum of a special elliptic differential operator; known as the Jacobi operator. In the 3dimensional Euclidean
space, for example, there is a plethora of minimal surfaces, but only the plane
is stable. The main goal of this thesis is to study the following paper due to
FischerColbrie & Schoen, The structure of complete stable minimal surfaces
in 3manifolds of nonnegative scalar curvature. Comm. Pure Appl. Math.
33 (1980), 199211. More precisely, the objective of this thesis is to prove the
following result:
Theorem: Let Σ be a complete oriented minimal surface in a 3manifold M with nonnegative scalar curvature. Then, the universal covering space of Σ is conformally equivalent either to S2 or to R2. Moreover, if M ≡ R3, then Σ is an affine plane.
Μια επιφάνεια ενός πολυπτύγματος Riemann ονομάζεται ελαχιστική όταν είναι κρίσιμο σημείο του συναρτησοειδούς του εμβαδού και ελάχιστης έκτασης όταν ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές του εμβαδού. Η ελαχιστικότητα περιγράφεται από ένα μη γραμμικό ελλειπτικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων 2 ου βαθμού ενώ η ιδιότητα της ελάχιστης έκτασης περιγράφεται από το φάσμα ενός άλλου γραμμικού ελλειπτικού διαφορικού τελεστή, ο οποίος, μεταξύ άλλων, εμπλέκει και την καμπυλότητα Ricci του περιβάλλοντος χώρου. Ως επί το πλείστον, η κλάση των επιφανειών ελάχιστης έκτασης είναι αρκετά μικρότερη από εκείνη των ελαχιστικών επιφανειών. Στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο για παράδειγμα, υπάρχει πληθώρα πλήρων ελαχιστικών επιφανειών, αλλά αποδεικνύεται ότι το επίπεδο είναι η μόνη πλήρης επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. Στη παρούσα μεταπτυχιακή εργασία, θα μελετήσουμε το άρθρο των D. FischerColbrie & R. Schoen: The structure of complete stable minimal surfaces in 3manifolds of nonnegative scalar curvature. Comm. Pure Appl. Math. 33 (1980), 199211. Πρωταρχικός στόχος μας είναι η παρουσίαση του παρακάτω αποτελέσματος: Θεώρημα: Έστω Σ ⊂ M πλήρης ελαχιστική επιφάνεια εντός ενός τριδιάστατου πολυπτύγματος M3 με μη αρνητική αριθμητική καμπυλότητα. Τότε, ο καθολικός χώρος κάλυψης της Σ2 είναι σύμμορφος είτε με τη σφαίρα S 2 ή με το μιγαδικό επίπεδο C. Επιπρόσθετα, εάν M = R 3, η Σ είναι αναγκαστικά επίπεδη.
Μια επιφάνεια ενός πολυπτύγματος Riemann ονομάζεται ελαχιστική όταν είναι κρίσιμο σημείο του συναρτησοειδούς του εμβαδού και ελάχιστης έκτασης όταν ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές του εμβαδού. Η ελαχιστικότητα περιγράφεται από ένα μη γραμμικό ελλειπτικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων 2 ου βαθμού ενώ η ιδιότητα της ελάχιστης έκτασης περιγράφεται από το φάσμα ενός άλλου γραμμικού ελλειπτικού διαφορικού τελεστή, ο οποίος, μεταξύ άλλων, εμπλέκει και την καμπυλότητα Ricci του περιβάλλοντος χώρου. Ως επί το πλείστον, η κλάση των επιφανειών ελάχιστης έκτασης είναι αρκετά μικρότερη από εκείνη των ελαχιστικών επιφανειών. Στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο για παράδειγμα, υπάρχει πληθώρα πλήρων ελαχιστικών επιφανειών, αλλά αποδεικνύεται ότι το επίπεδο είναι η μόνη πλήρης επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. Στη παρούσα μεταπτυχιακή εργασία, θα μελετήσουμε το άρθρο των D. FischerColbrie & R. Schoen: The structure of complete stable minimal surfaces in 3manifolds of nonnegative scalar curvature. Comm. Pure Appl. Math. 33 (1980), 199211. Πρωταρχικός στόχος μας είναι η παρουσίαση του παρακάτω αποτελέσματος: Θεώρημα: Έστω Σ ⊂ M πλήρης ελαχιστική επιφάνεια εντός ενός τριδιάστατου πολυπτύγματος M3 με μη αρνητική αριθμητική καμπυλότητα. Τότε, ο καθολικός χώρος κάλυψης της Σ2 είναι σύμμορφος είτε με τη σφαίρα S 2 ή με το μιγαδικό επίπεδο C. Επιπρόσθετα, εάν M = R 3, η Σ είναι αναγκαστικά επίπεδη.
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
Differential geometry
Θεματική κατηγορία
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
en
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Όνομα επιβλέποντος
Halilaj, Andreas Savas
Εξεταστική επιτροπή
Vlachos, Theodoros
Roidos, Nikolaos
Halilaj, Andreas Savas
Roidos, Nikolaos
Halilaj, Andreas Savas
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
77 p.
Λεπτομέρειες μαθήματος
item.page.endorsement
item.page.review
item.page.supplemented
item.page.referenced
Άδεια Creative Commons
Άδεια χρήσης της εγγραφής: CC0 1.0 Universal