Minimal surfaces in 3-manifolds with non-negative scalar curvature.
Loading...
Date
Authors
Papadakis, Michail
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Abstract
Type
Type of the conference item
Journal type
Educational material type
Conference Name
Journal name
Book name
Book series
Book edition
Alternative title / Subtitle
Description
A Riemannian submanifold is called minimal when it is a critical point of the functional of the volume, and stable when it really minimizes the volume. The minimality is described by a nonlinear elliptic system of partial differential equations, whereas the stability is described by the spectrum of a special elliptic differential operator; known as the Jacobi operator. In the 3dimensional Euclidean
space, for example, there is a plethora of minimal surfaces, but only the plane
is stable. The main goal of this thesis is to study the following paper due to
FischerColbrie & Schoen, The structure of complete stable minimal surfaces
in 3manifolds of nonnegative scalar curvature. Comm. Pure Appl. Math.
33 (1980), 199211. More precisely, the objective of this thesis is to prove the
following result:
Theorem: Let Σ be a complete oriented minimal surface in a 3manifold M with nonnegative scalar curvature. Then, the universal covering space of Σ is conformally equivalent either to S2 or to R2. Moreover, if M ≡ R3, then Σ is an affine plane.
Μια επιφάνεια ενός πολυπτύγματος Riemann ονομάζεται ελαχιστική όταν είναι κρίσιμο σημείο του συναρτησοειδούς του εμβαδού και ελάχιστης έκτασης όταν ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές του εμβαδού. Η ελαχιστικότητα περιγράφεται από ένα μη γραμμικό ελλειπτικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων 2 ου βαθμού ενώ η ιδιότητα της ελάχιστης έκτασης περιγράφεται από το φάσμα ενός άλλου γραμμικού ελλειπτικού διαφορικού τελεστή, ο οποίος, μεταξύ άλλων, εμπλέκει και την καμπυλότητα Ricci του περιβάλλοντος χώρου. Ως επί το πλείστον, η κλάση των επιφανειών ελάχιστης έκτασης είναι αρκετά μικρότερη από εκείνη των ελαχιστικών επιφανειών. Στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο για παράδειγμα, υπάρχει πληθώρα πλήρων ελαχιστικών επιφανειών, αλλά αποδεικνύεται ότι το επίπεδο είναι η μόνη πλήρης επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. Στη παρούσα μεταπτυχιακή εργασία, θα μελετήσουμε το άρθρο των D. FischerColbrie & R. Schoen: The structure of complete stable minimal surfaces in 3manifolds of nonnegative scalar curvature. Comm. Pure Appl. Math. 33 (1980), 199211. Πρωταρχικός στόχος μας είναι η παρουσίαση του παρακάτω αποτελέσματος: Θεώρημα: Έστω Σ ⊂ M πλήρης ελαχιστική επιφάνεια εντός ενός τριδιάστατου πολυπτύγματος M3 με μη αρνητική αριθμητική καμπυλότητα. Τότε, ο καθολικός χώρος κάλυψης της Σ2 είναι σύμμορφος είτε με τη σφαίρα S 2 ή με το μιγαδικό επίπεδο C. Επιπρόσθετα, εάν M = R 3, η Σ είναι αναγκαστικά επίπεδη.
Μια επιφάνεια ενός πολυπτύγματος Riemann ονομάζεται ελαχιστική όταν είναι κρίσιμο σημείο του συναρτησοειδούς του εμβαδού και ελάχιστης έκτασης όταν ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές του εμβαδού. Η ελαχιστικότητα περιγράφεται από ένα μη γραμμικό ελλειπτικό σύστημα διαφορικών εξισώσεων 2 ου βαθμού ενώ η ιδιότητα της ελάχιστης έκτασης περιγράφεται από το φάσμα ενός άλλου γραμμικού ελλειπτικού διαφορικού τελεστή, ο οποίος, μεταξύ άλλων, εμπλέκει και την καμπυλότητα Ricci του περιβάλλοντος χώρου. Ως επί το πλείστον, η κλάση των επιφανειών ελάχιστης έκτασης είναι αρκετά μικρότερη από εκείνη των ελαχιστικών επιφανειών. Στον τριδιάστατο ευκλείδειο χώρο για παράδειγμα, υπάρχει πληθώρα πλήρων ελαχιστικών επιφανειών, αλλά αποδεικνύεται ότι το επίπεδο είναι η μόνη πλήρης επιφάνεια ελάχιστης έκτασης. Στη παρούσα μεταπτυχιακή εργασία, θα μελετήσουμε το άρθρο των D. FischerColbrie & R. Schoen: The structure of complete stable minimal surfaces in 3manifolds of nonnegative scalar curvature. Comm. Pure Appl. Math. 33 (1980), 199211. Πρωταρχικός στόχος μας είναι η παρουσίαση του παρακάτω αποτελέσματος: Θεώρημα: Έστω Σ ⊂ M πλήρης ελαχιστική επιφάνεια εντός ενός τριδιάστατου πολυπτύγματος M3 με μη αρνητική αριθμητική καμπυλότητα. Τότε, ο καθολικός χώρος κάλυψης της Σ2 είναι σύμμορφος είτε με τη σφαίρα S 2 ή με το μιγαδικό επίπεδο C. Επιπρόσθετα, εάν M = R 3, η Σ είναι αναγκαστικά επίπεδη.
Description
Keywords
Differential geometry
Subject classification
Citation
Link
Language
en
Publishing department/division
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Advisor name
Halilaj, Andreas Savas
Examining committee
Vlachos, Theodoros
Roidos, Nikolaos
Halilaj, Andreas Savas
Roidos, Nikolaos
Halilaj, Andreas Savas
General Description / Additional Comments
Institution and School/Department of submitter
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Table of contents
Sponsor
Bibliographic citation
Name(s) of contributor(s)
Number of Pages
77 p.
Course details
Endorsement
Review
Supplemented By
Referenced By
Creative Commons license
Except where otherwised noted, this item's license is described as CC0 1.0 Universal