Μια γενικευμένη αρχή HAMILTON και εφαρμογή της με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων σε προβλήματα αρχικών τιμών
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Πανή, Πηνελόπη
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Πολυτεχνική Σχολή. Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
Ο Hamilton στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα πρότεινε την αρχή ελαχιστοποίησης του συναρτησιακού δράσης για τον φορμαλισμό μηχανικών συστημάτων η οποία ορίζεται με βάση το διάστημα δράσης [ t_1 , t_2 ] και χρησιμοποιεί δεδομένα για την κατάσταση του συστήματος και στις δύο χρονικές στιγμές. Συγκεκριμένα αναφέρει ότι η χρονική εξέλιξη ενός μηχανικού συστήματος γίνεται κατά τέτοιον τρόπο ώστε το ολοκλήρωμα της διαφοράς μεταξύ κινητικής και δυναμικής ενέργειας να είναι στάσιμο. Η αρχή Hamilton εφαρμόζεται κατά κανόνα σε προβλήματα συνοριακών τιμών και όχι σε προβλήματα αρχικών τιμών διότι αδυνατεί να αναπαράγει τις αρχικές συνθήκες. Οι αδυναμίες αυτές αίρονται με γενίκευση της αρχής από διάφορες μεθόδους οι οποίες χρησιμοποιούν την πράξη της συνέλιξης συναρτήσεων έναντι του L^2 – εσωτερικού γινομένου. Στην παρούσα διπλωματική εργασία θα περιγράφει η γενίκευση της Αρχής, θεωρητικά, για τον Φορμαλισμό προβλημάτων αρχικών τιμών και στη συνέχεια θα γίνει εφαρμογή της μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων σε προβλήματα αρχικών τιμών. Συγκεκριμένα θα μελετηθεί το πρόβλημα Αρχικών Τιμών που περιγράφει την κίνησης ενός αρμονικού ταλαντωτή. Στο 1ο Κεφάλαιο της παρούσας διπλωματικής εργασίας δίνονται στον αναγνώστη βασικές έννοιες της θεωρίας της Μηχανικής του Συνεχούς Μέσου. Στο 2ο Κεφάλαιο αναφέρεται η Αρχή Hamilton αλλά και οι αδυναμίες που παρουσιάζει στα προβλήματα αρχικών τιμών και προτείνεται μια μεταβολική αρχή η οποία με τη βοήθεια της συνέλιξης κατορθώνει την ενσωμάτωση των αρχικών συνθηκών. Στο 3ο Κεφάλαιο αναπτύσσουμε μια στρατηγική εύρεσης προσεγγιστικής λύσης χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη μεταβολική αρχή με τη χρήση της Μεθόδου των Πεπερασμένων Στοιχείων. Στο 4ο Κεφάλαιο παρουσιάζεται ο κώδικας που αναπτύχθηκε για τον προγραμματισμό της μεθόδου και την σύγκριση της προσεγγιστικής λύσης με την αναλυτική σε ένα απλό πρόβλημα αρχικών τιμών που αφορά την κίνηση αρμονικού ταλαντωτή. Στο 5ο κεφάλαιο γίνεται λόγος για τη γενίκευση της Αρχής στην Ελαστοδυναμική και συγκεκριμένα στο πρόβλημα αρχικών-συνοριακών τιμών της κίνησης μιας ελαστικής ίνας. Ακόμη σκιαγραφείται η εύρεση της αριθμητικής λύσης η vi οποία είναι βασισμένη στη μέθοδο των Πεπερασμένων στοιχείων. Τέλος στο 6ο Κεφάλαιο παρουσιάζονται τα συμπεράσματα της παρούσας εργασίας.
In the first half of the 19th century, Hamilton suggested a general method in dynamics based upon the concept of stationary action, with action represented as the integration over the time interval [ t_1 , t_2 ] of the Lagrangian function of the system. Although Hamilton’s principle is the proper variational setting for dynamics, where one has data for the state of the system at both moments 1 t and 2 t are needed, it fails to produce the initial conditions of the corrensponding initial value problem. This deficiency is removed by generalizing the principle with new variational settings that use the convolution instead of the L^2 inner product. In what follows, there will be an attempt to generalize the Hamilton’s principle for the proper formulation of an initial value problem. Afterwards, an application of the Finite Element Method in the problem of the motion of a harmonic oscillator is provided. In the first Chapter of the thesis, the basic theoretical concepts of the Mechanics of Continuum Media are given. Chapter 2 refers to the Hamilton’s principle and a new variational setting is suggested that uses convolution to incorporate the initial conditions. In Chapter 3 we develop a strategy for finding an approximate solution using the proposed variational principle based on the Finite Element Method. Chapter 4 presents the code developed for the programming of the method and a comparison of the two solutions, the approximate and the analytical one, in a simple initial value problem that incorporates the motion of a harmonic oscillator. In Chapter 5 we proceed to a new formulation of Hamilton’s principle for a one dimensional elastic body, based on convolution. An approximate solution, which is based on the Finite Element method, is also outlined. Finally, Chapter 6 summarizes the thesis’ conclusions.
In the first half of the 19th century, Hamilton suggested a general method in dynamics based upon the concept of stationary action, with action represented as the integration over the time interval [ t_1 , t_2 ] of the Lagrangian function of the system. Although Hamilton’s principle is the proper variational setting for dynamics, where one has data for the state of the system at both moments 1 t and 2 t are needed, it fails to produce the initial conditions of the corrensponding initial value problem. This deficiency is removed by generalizing the principle with new variational settings that use the convolution instead of the L^2 inner product. In what follows, there will be an attempt to generalize the Hamilton’s principle for the proper formulation of an initial value problem. Afterwards, an application of the Finite Element Method in the problem of the motion of a harmonic oscillator is provided. In the first Chapter of the thesis, the basic theoretical concepts of the Mechanics of Continuum Media are given. Chapter 2 refers to the Hamilton’s principle and a new variational setting is suggested that uses convolution to incorporate the initial conditions. In Chapter 3 we develop a strategy for finding an approximate solution using the proposed variational principle based on the Finite Element Method. Chapter 4 presents the code developed for the programming of the method and a comparison of the two solutions, the approximate and the analytical one, in a simple initial value problem that incorporates the motion of a harmonic oscillator. In Chapter 5 we proceed to a new formulation of Hamilton’s principle for a one dimensional elastic body, based on convolution. An approximate solution, which is based on the Finite Element method, is also outlined. Finally, Chapter 6 summarizes the thesis’ conclusions.
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
Γενικευμένη αρχή Hamilton, Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων, Πρόβλημα αρχικών τιμών, New formulation of Hamilton’s principle, Finite element method, Initial value problem
Θεματική κατηγορία
Χαμιλτωνιανά συστήματα
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
el
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Πολυτεχνική Σχολή. Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών
Όνομα επιβλέποντος
Καλπακίδης, Βασίλειος
Εξεταστική επιτροπή
Καλπακίδης, Βασίλειος
Λέκκα, Χριστίνα
Χατζηγεωργίου, Ευάγγελος
Λέκκα, Χριστίνα
Χατζηγεωργίου, Ευάγγελος
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Πολυτεχνική Σχολή. Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Βιβλιογραφία: σ. 85-86
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
86 σ.
Λεπτομέρειες μαθήματος
item.page.endorsement
item.page.review
item.page.supplemented
item.page.referenced
Άδεια Creative Commons
Άδεια χρήσης της εγγραφής: Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States