Γενικευμένες εξισώσεις αβαθών υδάτων και ασυμπτωτική ολοκληρωσιμότητα
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Σολωμού, Ευαγγελία
Solomou, Evangelia
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
Η μελέτη των υδάτινων κυμάτων είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τις εξισώσεις
Euler, ένα σύνολο οιονεί-γραμμικών, υπερβολικών εξισώσεων που διέπουν τη
ροή ιδανικού ρευστού χωρίς ιξώδες. Αυτές οι εξισώσεις αντιπροσωπεύουν τη
διατήρηση της μάζας, της ορμής και της ενέργειας. Μπορούν να θεωρηθούν
ως ειδική μορφή των εξισώσεων Navier-Stokes με μηδενικό ιξώδες και θερμική
αγωγιμότητα. Λύσεις αυτών των εξισώσεων είναι δύσκολο να βρεθούν αναλυτικά,
καθώς είναι συζευγμένες και με ελεύθερο σύνορο, πράγμα που σημαίνει ότι η λύση
αποτελεί επίσης μέρος των συνοριακών συνθηκών. Στην παρούσα διατριβή, θα
μελετήσουμε την θεωρία κυμάτων αβαθών υδάτων χρησιμοποιώντας εργαλεία της
θεωρίας διαταραχών. Η διάκριση καθορίζεται από την αναλογία του βάθους των
υδάτων προς το μήκος κύματος. Δηλαδή με απλούς όρους, στα ρηχά ύδατα, τα
κύματα αρχίζουν να επηρεάζονται από τον πυθμένα του ωκεανού, ενώ σε βαθιά
νερά το βάθος του ωκεανού θεωρείται άπειρο.
Η μελέτη μας ξεκινά από πρώτες αρχές και αρχικά παρουσιάζουμε αναλυτικά
πώς προκύπτει το σύστημα των εξισώσεων Euler στα ρευστά. Στη συνέχεια, χρη-
σιμοποιώντας θεωρία διαταραχών, σε (1+1) χωρικές και χρονικές διαστάσεις, με-
τατρέπουμε το σύστημα στην εξίσωση Korteweg–de Vries (KdV) και παρέχουμε
όρους ανώτερης τάξης, που αντιπροσωπεύουν με μεγαλύτερη ακρίβεια το αρχικό
σύστημα. Με παρόμοιο τρόπο αλλά σε διαφορετικό σύστημα, που περιγράφει την
αρτηριακή πίεση, θα καταλήξουμε στην ίδια KdV εξίσωση (με διαφορετικούς συ-
ντελεστές) αποδεικνύοντας έτσι την καθολικότητά (universality) της. Τέλος, σε
(2+1) χωρικές και χρονικές διαστάσεις, εξάγουμε την ανώτερης τάξης Kadom-
tsev–Petviashvili (KP) εξίσωση.
Λύσεις των παραπάνω συστημάτων (σε μια χωρική διάσταση) δίνονται μέσω
της μεθόδου της ασυμπτωτικής ολοκληρωσιμότητας. Χρησιμοποιώντας τις λύσεις
της απλής εξίσωσης μπορούμε, με συστηματικό τρόπο, να κατασκευάσουμε και τις
λύσεις της ανώτερης τάξης εξίσωσης. Θα εστιάσουμε στις λεγόμενες, σολιτονικές
λύσεις των συστημάτων και στις αλληλεπιδράσεις τους. Τέλος γίνονται συγκρίσεις
με πραγματικά φαινόμενα στον ωκεανό και τις λύσεις των εξισώσεων αυτών.
The study of water waves is inextricably linked to Euler’s equations, a set of quasi-linear, hyperbolic equations governing the flow of an ideal fluid without viscosity. These equations represent the conservation of mass, momentum, and energy. They can be considered as a special form of the Navier-Stokes equations with zero viscosity and thermal conductivity. Solutions of these equations are difficult to find analytically, as they are coupled and with a free boundary, which means that the solution is also part of the boundary conditions. In this thesis, we will study the theory of shallow water waves using tools of perturbation theory. The distinction, between deep and shallow water waves, is determined by the ratio of water depth to wavelength. That is, in simple terms, in shallow water, the waves begin to be affected by the ocean floor, while in deep water, the depth of the ocean is considered infinite. Our study starts from first principles and initially we present, in detail how the system of Euler equations in fluids is derived. Then, using perturbation theory, in (1+1) spatial and temporal dimensions, we reduce the system into the Korteweg–de Vries (KdV) equation and provide higher-order terms that more accurately represent the original system. In a similar way, but in a diffe- rent system, which describes blood pressure, we derive the same KdV equation (with different coefficients) thus proving its universality. Finally, in (2+1) spa- tial and temporal dimensions, we derive the extended Kadomtsev–Petviashvili (KP) equation. Solutions of the above systems (in one spatial dimension) are given throu- gh the method of asymptotic integrability. Using the solutions of the simple equation we can, in a systematic way, construct the solutions of the higher or- der equation. We will focus on the so-called, solitonic solutions of the systems and their interactions. Finally, comparisons are made with real phenomena in the ocean and the solutions of these equations.
The study of water waves is inextricably linked to Euler’s equations, a set of quasi-linear, hyperbolic equations governing the flow of an ideal fluid without viscosity. These equations represent the conservation of mass, momentum, and energy. They can be considered as a special form of the Navier-Stokes equations with zero viscosity and thermal conductivity. Solutions of these equations are difficult to find analytically, as they are coupled and with a free boundary, which means that the solution is also part of the boundary conditions. In this thesis, we will study the theory of shallow water waves using tools of perturbation theory. The distinction, between deep and shallow water waves, is determined by the ratio of water depth to wavelength. That is, in simple terms, in shallow water, the waves begin to be affected by the ocean floor, while in deep water, the depth of the ocean is considered infinite. Our study starts from first principles and initially we present, in detail how the system of Euler equations in fluids is derived. Then, using perturbation theory, in (1+1) spatial and temporal dimensions, we reduce the system into the Korteweg–de Vries (KdV) equation and provide higher-order terms that more accurately represent the original system. In a similar way, but in a diffe- rent system, which describes blood pressure, we derive the same KdV equation (with different coefficients) thus proving its universality. Finally, in (2+1) spa- tial and temporal dimensions, we derive the extended Kadomtsev–Petviashvili (KP) equation. Solutions of the above systems (in one spatial dimension) are given throu- gh the method of asymptotic integrability. Using the solutions of the simple equation we can, in a systematic way, construct the solutions of the higher or- der equation. We will focus on the so-called, solitonic solutions of the systems and their interactions. Finally, comparisons are made with real phenomena in the ocean and the solutions of these equations.
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
Ασυπτωτική ολοκληρωσιμότητα, Θεωρία διαταραχών, KdV, Extended KdV, Extended KP
Θεματική κατηγορία
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
el
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Όνομα επιβλέποντος
Χωρίκης, Θεόδωρος
Εξεταστική επιτροπή
Ξένος, Μιχαήλ
Καρακατσάνη, Φωτεινή
Χωρίκης, Θεόδωρος
Καρακατσάνη, Φωτεινή
Χωρίκης, Θεόδωρος
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
69
Λεπτομέρειες μαθήματος
item.page.endorsement
item.page.review
item.page.supplemented
item.page.referenced
Άδεια Creative Commons
Άδεια χρήσης της εγγραφής: CC0 1.0 Universal