The finite element method with applications in fluid mechanics
Loading...
Date
Authors
Byraki, Kyriaki N.
Μπυράκη, Κυριακή Ν.
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Abstract
Type
Type of the conference item
Journal type
Educational material type
Conference Name
Journal name
Book name
Book series
Book edition
Alternative title / Subtitle
Description
The finite element method is a widely known numerical method for calculating approximate
solutions of ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs).
This method is a powerful tool in the study of various nonlinear problems and has many
applications, such as structural analysis and fluid mechanics. In this thesis we concentrate on
applying the method mainly to Fluid Mechanics problems. Initially, we present the method
along with the basic theorems and examples. We analyze the a priori errors for linear
problems and the base functions that distinguish the problem under consideration. We further
present the numerical solution of the one–dimensional nonlinear Duffing equation.
Additionally, we concentrate on the two–dimensional Stokes problem. We focus on
presenting novel finite element method variants, such as the Discontinuous Galerkin method.
The notion of adaptive mesh is also discussed. Lastly, we study the two–dimensional
Navier–Stokes equations. We present the formulation of the equations in the classical
Galerkin method. These advanced methods provide reliable numerical results in all studied
cases. This is achieved with the application of the Finite Element methods to appropriate “test
problems”, such as the backward facing step. We obtain all the numerical results utilizing the
software programs Matlab and FEniCS.
Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια ευρέως γνωστή αριθμητική μέθοδος για τον υπολογισμό προσεγγιστικών λύσεων συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ.Δ.Ε.) και μερικών διαφορικών εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.). Η μέθοδος είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο στη μελέτη διαφόρων μαθηματικών μη-γραμμικών προβλημάτων και έχει πολλές εφαρμογές, όπως η δομική ανάλυση και η μηχανική των ρευστών. Σε αυτή τη διατριβή επικεντρωνόμαστε στην εφαρμογή της μεθόδου κυρίως σε προβλήματα Ρευστομηχανικής. Αρχικά παρουσιάζουμε τη μέθοδο μαζί με τα βασικά θεωρήματα και παραδείγματα. Αναλύουμε τα εκ των προτέρων (a priori) σφάλματα για γραμμικά προβλήματα και παρουσιάζουμε τις συναρτήσεις βάσης που εφαρμόζονται στα υπό εξέταση προβλήματα που μελετάμε. Παρουσιάζουμε την αριθμητική λύση της μονοδιάστατης μη-γραμμικής εξίσωσης του Duffing. Επιπλέον, επικεντρωνόμαστε στο δισδιάστατο πρόβλημα του Stokes. Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε νεότερες παραλλαγές των μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων, όπως είναι η ασυνεχής μέθοδος του Galerkin. Παρουσιάζεται επίσης η έννοια του τοπικά εκλεπτυσμένου πλέγματος (adaptive mesh). Τέλος, μελετάμε τις δισδιάστατες μη-γραμμικές εξισώσεις των Navier–Stokes εφαρμόζοντας τη κλασική μέθοδο του Galerkin. Αυτές οι προηγμένες μέθοδοι παρέχουν αξιόπιστα αριθμητικά αποτελέσματα σε όλες τις περιπτώσεις που μελετήθηκαν. Αυτό επιτυγχάνεται με την εφαρμογή των μεθόδων Πεπερασμένων Στοιχείων σε κατάλληλα ‘προβλήματα δοκιμής’, όπως είναι η οπίσθια κατάβαση (σκαλί) της ροής (backward facing step). ΄Ολα τα αριθμητικά πειράματα έχουν πραγματοποιηθεί με κώδικά που αναπτύχθηκε στα προγράμματα Matlab και FEniCS.
Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια ευρέως γνωστή αριθμητική μέθοδος για τον υπολογισμό προσεγγιστικών λύσεων συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ.Δ.Ε.) και μερικών διαφορικών εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.). Η μέθοδος είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο στη μελέτη διαφόρων μαθηματικών μη-γραμμικών προβλημάτων και έχει πολλές εφαρμογές, όπως η δομική ανάλυση και η μηχανική των ρευστών. Σε αυτή τη διατριβή επικεντρωνόμαστε στην εφαρμογή της μεθόδου κυρίως σε προβλήματα Ρευστομηχανικής. Αρχικά παρουσιάζουμε τη μέθοδο μαζί με τα βασικά θεωρήματα και παραδείγματα. Αναλύουμε τα εκ των προτέρων (a priori) σφάλματα για γραμμικά προβλήματα και παρουσιάζουμε τις συναρτήσεις βάσης που εφαρμόζονται στα υπό εξέταση προβλήματα που μελετάμε. Παρουσιάζουμε την αριθμητική λύση της μονοδιάστατης μη-γραμμικής εξίσωσης του Duffing. Επιπλέον, επικεντρωνόμαστε στο δισδιάστατο πρόβλημα του Stokes. Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε νεότερες παραλλαγές των μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων, όπως είναι η ασυνεχής μέθοδος του Galerkin. Παρουσιάζεται επίσης η έννοια του τοπικά εκλεπτυσμένου πλέγματος (adaptive mesh). Τέλος, μελετάμε τις δισδιάστατες μη-γραμμικές εξισώσεις των Navier–Stokes εφαρμόζοντας τη κλασική μέθοδο του Galerkin. Αυτές οι προηγμένες μέθοδοι παρέχουν αξιόπιστα αριθμητικά αποτελέσματα σε όλες τις περιπτώσεις που μελετήθηκαν. Αυτό επιτυγχάνεται με την εφαρμογή των μεθόδων Πεπερασμένων Στοιχείων σε κατάλληλα ‘προβλήματα δοκιμής’, όπως είναι η οπίσθια κατάβαση (σκαλί) της ροής (backward facing step). ΄Ολα τα αριθμητικά πειράματα έχουν πραγματοποιηθεί με κώδικά που αναπτύχθηκε στα προγράμματα Matlab και FEniCS.
Description
Keywords
Finite elements, Fluid mechanics, Numerical solutions, Galerkin method, Πεπερασμένα στοιχεία, Ρευστομηχανική, Αριθμητικές λύσεις, Μέθοδος του Galerkin
Subject classification
Finite elements
Citation
Link
Language
en
Publishing department/division
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Advisor name
Ξένος, Μιχαήλ
Examining committee
Ξένος, Μιχαήλ
Χωρίκης, Θεόδωρος
Καρακατσάνη, Φωτεινή
Χωρίκης, Θεόδωρος
Καρακατσάνη, Φωτεινή
General Description / Additional Comments
Institution and School/Department of submitter
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Table of contents
Sponsor
Bibliographic citation
Βιβλιογραφία: σ. 67-69
Name(s) of contributor(s)
Number of Pages
69 σ.
Course details
Endorsement
Review
Supplemented By
Referenced By
Creative Commons license
Except where otherwised noted, this item's license is described as Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States