Variational problems in submanifold geometry

Απλή σελίδα τεκμηρίου
dc.contributor.authorFourtzis, Ioannisen
dc.contributor.authorΦουρτζής, Ιωάννηςel
dc.date.accessioned2024-06-28T10:45:46Z
dc.date.available2024-06-28T10:45:46Z
dc.identifier.urihttps://olympias.lib.uoi.gr/jspui/handle/123456789/38079
dc.identifier.urihttp://dx.doi.org/10.26268/heal.uoi.17786
dc.rightsDefault License
dc.subjectHarmonic Unit Vector Fieldsen
dc.subjectMinimal Unit Vector Fieldsen
dc.subjectHopf vector fieldsen
dc.subjectHopf Fibrationsen
dc.subjectGreat circle fibrationen
dc.subjectGauss mapen
dc.subjectEnergy functionalen
dc.subjectVolume functionalen
dc.subjectHarmonic mapen
dc.subjectMinimal mapen
dc.subjectΑρμονικά μοναδιαία διανυσματικά πεδίαel
dc.subjectΕλαχιστικά μοναδιαία διανυσματικά πεδίαel
dc.subjectΔιανυσματικά πεδία Hopfel
dc.subjectΑπεικονίσεις Hopfel
dc.subjectΦυλλώσεις από μέγιστους κύκλουςel
dc.subjectΣυναρτησοειδές ενέργειαςel
dc.subjectΣυναρτησοειδές όγκουel
dc.subjectΑρμονική απεικόνισηel
dc.subjectΕλαχιστική απεικόνισηel
dc.subjectΑπεικόνιση Gaussel
dc.titleVariational problems in submanifold geometryen
dc.titleΠροβλήματα μεταβολών στην γεωμετρία υποπολυπτυγμάτωνel
dc.typedoctoralThesisen
heal.abstractIn this thesis, in the first chapter we set up the notation and recall basic facts from Submanifold Geometry. We introduce the notion of harmonic and minimal maps between Riemannian manifolds. Furthermore, we recall some global rigidity results that we will use in the proofs of our main results. The second chapter is devoted to the description of the geometry of the unit tangent bundle of a Riemannian manifold. Moreover, we derive the Euler-Lagrange formulas for the energy and volume functionals in the case of a unit vector field. In the third chapter, we define the second fundamental form of the horizontal distribution and obtain its Riccati and Codazzi equations. In the sequel, we provide an alternative approach to the geometric setup by Gluck & Warner and therefore provide simplified proofs to a number of already known results. In the fourth and fifth chapter, we state and prove our main results for the harmonic and minimal case, respectively. Specifically, we show that the Gauss maps associated to great circle fibrations of the euclidean unit three-dimensional sphere are harmonic, respectively minimal, if and only if the unit vector field generating the great circle foliation is harmonic, respectively minimal, unit vector field. These results can be viewed as analogues of the classical theorem of Ruh and Vilms about the harmonicity of the Gauss map of a minimal submanifold in the euclidean space. Moreover, we prove that a harmonic or minimal unit vector field globally defined on the three-dimensional sphere, whose integral curves are great circles, is a Hopf vector field.en
heal.abstractΣτην παρούσα διατριβή, το πρώτο κεφάλαιο αναφέρει έννοιες από την Γεωμετρία Υποπολυπτυγμάτων. Εισαγάγουμε τις έννοιες των αρμονικών και ελαχιστικών απεικονίσεων και ανακαλούμε ολικά αποτελέσματα που χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις. Το δεύτερο κεφάλαιο αφιερώνεται στην περιγραφή της μοναδιαίας εφαπτόμενης δέσμης ενός πολυπτύγματος RIemann. Επιπλέον, βρίσκουμε τις εξισώσεις Euler-Lagrange για το συναρτησοειδές ενέργειας και όγκου για μοναδιαία διανυσματικά πεδία. Στο τρίτο κεφάλαιο περιέχεται ο ορισμός της δεύτερης θεμελιώδους μορφής μιας φύλλωσης από μέγιστους κύκλους της τριδιάστατης σφαίρας και αποδεικνύονται οι εξισώσεις Riccati και Codazzi. Επιπλέον, παρέχουμε μια εναλλακτική προσέγγιση στη κατασκευή των Gluck και Warner. Ως εκ τούτου, λόγω της προσέγγισης μας δίνουμε απλοποιημένες αποδείξεις σε έναν αριθμό από ήδη γνωστά αποτελέσματα. Στο τέταρτο και πέμπτο κεφάλαιο περιέχονται οι αποδείξεις των αποτελεσμάτων μας για την αρμονική και ελαχιστική περίπτωση, αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, δείχνουμε ότι οι συσχετισμένες απεικονίσεις Gauss με τέτοιες φυλλώσεις είναι αρμονικές ή αντίστοιχα ελαχιστικές αν και μόνο αν το μοναδιαίο διανυσματικό πεδίο που παράγει την φύλλωση από μέγιστους κύκλους είναι αρμονικό ή αντίστοιχα ελαχιστικό μοναδιαίο διανυσματικό πεδίο. Τα αποτελέσματα αυτά είναι ανάλογα ενός κλασικού Θεωρήματος των Ruh και Vilms που αφορά την αρμονικότητα μιας απεικόνισης Gauss ενός ελαχιστικού υποπολυπτύγματος του ευκλείδειου χώρου. Επιπλέον, αποδεικνύεται ότι αν έχουμε αρμονικό ή ελαχιστικό μοναδιαίο διανυσματικό πεδίο ολικά ορισμένο στην τριδιάστατη σφαίρα και οι ολοκληρωτικές του καμπύλες είναι μέγιστοι κύκλοι τότε αυτό είναι διανυσματικό πεδίο Hopf.el
heal.academicPublisherΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικώνel
heal.academicPublisherIDuoiel
heal.accessfreeel
heal.advisorNameSavas-Halilaj, Andreasen
heal.classificationDifferential geometryen
heal.classificationGeometric analysisen
heal.committeeMemberNameSavas-Halilaj, Andreasen
heal.committeeMemberNameΣάββας-Χαλιλάϊ, Ανδρέαςel
heal.committeeMemberNameRoidos, Roidosen
heal.committeeMemberNameΡόιδος, Νικόλαοςel
heal.committeeMemberNameVlachos, Theodorosen
heal.committeeMemberNameΒλάχος, Θεόδωροςel
heal.committeeMemberNameBatakidis, Panagiotisen
heal.committeeMemberNameΜπατακίδης, Παναγιώτηςel
heal.committeeMemberNamePapadakis, Stavrosen
heal.committeeMemberNameΠαπαδάκης, Σταύροςel
heal.committeeMemberNamePolymerakis, Panagiotis
heal.committeeMemberNameΠολυμεράκης, Παναγιώτηςel
heal.committeeMemberNameSaroglou, Christosen
heal.committeeMemberNameΣαρόγλου, Χρήστοςel
heal.dateAvailable2024-06-28T10:46:46Z
heal.fullTextAvailabilitytrue
heal.languageenel
heal.numberOfPages104el
heal.publicationDate2024-05-20
heal.recordProviderΠανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημώνel
heal.typedoctoralThesisel
heal.type.elΔιδακτορική διατριβήel
heal.type.enDoctoral thesisen

Αρχεία

Πρωτότυπος φάκελος/πακέτο

Προβολή: 1 - 1 of 1
Μικρογραφία εικόνας
Ονομα:
Ioannis_Fourtzis-PhD_Thesis_2024.pdf
Μέγεθος:
758.65 KB
Μορφότυπο:
Adobe Portable Document Format
Περιγραφή:
Διδακτορική Διατριβή
Κατεβάστε

Φάκελος/Πακέτο αδειών

Προβολή: 1 - 1 of 1
Μικρογραφία εικόνας
Ονομα:
license.txt
Μέγεθος:
3.22 KB
Μορφότυπο:
Item-specific license agreed upon to submission
Περιγραφή:
Κατεβάστε

Συλλογές

Διδακτορικές Διατριβές - ΜΑΘ