Επεκτάσεις της Θεωρίας Perron-Frobenius
Loading...
Date
Authors
Chaysri, Thaniporn
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Abstract
Type
Type of the conference item
Journal type
Educational material type
Conference Name
Journal name
Book name
Book series
Book edition
Alternative title / Subtitle
Description
Από το 1907, ο Oskar Perron απέδειξε ένα θεώρημα για θετικούς πίνακες, το οποίο επεκτάθηκε από τον Georg Frobenius το 1912 για μη αναγώγιμους μη αρνητικούς πίνακες. Στη συνέχεια αναπτύχθηκε η γνωστή θεωρία Perron-Frobenius για μη αρνητικούς πίνακες. ́Ενας Mv-πίνακας γράφεται στην μορφή A=sI−B, όπου 0≤ρ(B)≤s και B είναι τελικά μη αρνητικός πίνακας. Ενας GM-πίνακας γράφεται στην μορφή A=sI−B, όπου οι B και B^T έχουν την ιδιότητα Perron-Frobenius (Perron-Frobenius property). Αυτές οι κλάσεις πινάκων είναι επεκτάσεις των γνωστών M-πινάκων. Στην διδακτορική διατριβή, διατυπώνουμε αρχικά τους ορισμούς και τα θεωρήματα που χρειάζονται για να γίνει κατανοητή η Θεωρία Perron-Frobenius σε σχέση και με τις επεκτάσεις των M-πινάκων. Στην συνέχεια, στο κεφάλαιο 2, μελετούμε τους Mv-πίνακες σε σχέση με τη Θεωρία Perron-Frobenius. Ειδικότερα, δίνουμε και αποδεικνύουμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες τέτοιες ώστε ένας Mv-πίνακας να έχει θετικό αριστερό και δεξιό ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην απόλυτα μικρότερη πραγματική ιδιοτιμή, λαμβάνοντας υπόψη ότι (index_0 B)≤1 ή όχι. Επιπλέον, μελετώνται ανάλογες συνθήκες για τελικά μη αρνητικούς πίνακες ή Mv-πίνακες ώστε όλα τα υπόλοιπα ιδιοδιανύσματα ή γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, εκτός από το ιδιοδιάνυσμα Perron, να μην είναι μη αρνητικά. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται ισοδύναμες ιδιότητες τελικά εκθετικά μη αρνητικών πινάκων και Mv-πινάκων. Στο κεφάλαιο 3, μελετούμε ιδιότητες για Mv- και GM-πίνακες σε σχέση με το συμπλήρωμα Schur. Συγκεκριμένα, μελετούμε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ώστε το συμπλήρωμα Schur διαφόρων τύπων Mv-πινάκων, να έχουν την Mv-ιδιότητα. Επίσης, μελετούμε το συμπλήρωμα Schur για διαταραγμένους Mv-πίνακες. Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε την Mv-ιδιότητα του συμπληρώματος Schur οποιουδήποτε πίνακα, όταν ο υποπίνακας A22 είναι Mv-πίνακας. Μελετούμε επίσης ανάλογες συνθήκες για το συμπλήρωμα Schur των GM-πινάκων ώστε να έχουν την GM-ιδιότητα. Στο κεφαλαίο 4, παρουσιάζουμε εφαρμογές των επεκτάσεων της θεωρίας Perron-Frobenius σε άλλες επιστήμες, όπως η Θεωρία Δικτύου, η Βιολογία, η Οικονομία κ.λ.π. Στα κεφάλαια 2 και 3, παρουσιάζονται πολλά αριθμητικά παραδείγματα που υποστηρίζουν και επιβεβαιώνουν τα θεωρητικά αποτελέσματα.
The foundations of what today is called Perron-Frobenius theory were laid by Oscar Perron in 1907 with a result on positive matrices and Georg Frobenius in 1912, who extended that result to the case of irreducible nonnegative matrices. An Mv-matrix is a matrix of the form A=sI−B, where 0≤ρ(B)≤s and B is an eventually nonnegative matrix. A GM-matrix denotes a matrix of the form A=sI−B, when both B and B^T possess the Perron-Frobenius property. These classes of matrices are extensions of the well-known M-matrices. In this thesis, we first provide all the definitions and theorems that are necessary to understand the Perron-Frobenius theory and extensions of M-matrices. We then study, in chapter 2, the Mv-matrices concerning the Perron-Frobenius theory. Specifically, sufficient and necessary conditions for an Mv-matrix to have positive left and right eigenvectors corresponding to its eigenvalue with smallest real part without considering or not if (index_0 B)≤1 are stated and proven. Moreover, analogous conditions for eventually nonnegative matrices or Mv-matrices to have all the non Perron eigenvectors or generalized eigenvectors not being nonnegative are studied. Then, equivalent properties of eventually exponentially nonnegative matrices and Mv-matrices are presented. In chapter 3, we study the main result for Mv- and GM-matrices focusing on the properties their Schur complements inherit. Specifically, we study sufficient and necessary conditions for the Schur complement of various types of Mv-matrices that have the Mv-property. Also, the Schur complements of perturbed Mv-matrices are studied. Then, we present the Mv-property of the Schur complement of any matrix when its A22 block is an Mv-matrix. We also study analogous conditions for the Schur complement of GM-matrices to have the GM-property. In chapter 4, we present applications of the Perron-Frobenius theory in other fields such as Network Theory, Biology, Economy, etc. In chapters 2 and 3, numerous numerical examples are presented to support our theoretical findings.
The foundations of what today is called Perron-Frobenius theory were laid by Oscar Perron in 1907 with a result on positive matrices and Georg Frobenius in 1912, who extended that result to the case of irreducible nonnegative matrices. An Mv-matrix is a matrix of the form A=sI−B, where 0≤ρ(B)≤s and B is an eventually nonnegative matrix. A GM-matrix denotes a matrix of the form A=sI−B, when both B and B^T possess the Perron-Frobenius property. These classes of matrices are extensions of the well-known M-matrices. In this thesis, we first provide all the definitions and theorems that are necessary to understand the Perron-Frobenius theory and extensions of M-matrices. We then study, in chapter 2, the Mv-matrices concerning the Perron-Frobenius theory. Specifically, sufficient and necessary conditions for an Mv-matrix to have positive left and right eigenvectors corresponding to its eigenvalue with smallest real part without considering or not if (index_0 B)≤1 are stated and proven. Moreover, analogous conditions for eventually nonnegative matrices or Mv-matrices to have all the non Perron eigenvectors or generalized eigenvectors not being nonnegative are studied. Then, equivalent properties of eventually exponentially nonnegative matrices and Mv-matrices are presented. In chapter 3, we study the main result for Mv- and GM-matrices focusing on the properties their Schur complements inherit. Specifically, we study sufficient and necessary conditions for the Schur complement of various types of Mv-matrices that have the Mv-property. Also, the Schur complements of perturbed Mv-matrices are studied. Then, we present the Mv-property of the Schur complement of any matrix when its A22 block is an Mv-matrix. We also study analogous conditions for the Schur complement of GM-matrices to have the GM-property. In chapter 4, we present applications of the Perron-Frobenius theory in other fields such as Network Theory, Biology, Economy, etc. In chapters 2 and 3, numerous numerical examples are presented to support our theoretical findings.
Description
Keywords
Θεωρία Perron-Frobenius, Συμπλήρωμα Schur, M-πίνακες, Mv-πίνακες, Τελικά μη αρνητικοί πίνακες, Perron-Frobenius theory, Schur complement, M-matrices, Mv-matrices, Eventually non-negative matrices
Subject classification
Perron-Frobenius theory
Citation
Link
Language
en
Publishing department/division
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Advisor name
Νούτσος, Δημήτριος
Examining committee
Νούτσος, Δημήτριος
Γαλλόπουλος, Ευστράτιος
Βασσάλος, Παρασκευάς
Βραχάτης, Μιχαήλ
Καρακατσάνη, Φωτεινή
Τσατσόμοιρος, Μιχαήλ
Ψαρράκος, Παναγιώτης
Γαλλόπουλος, Ευστράτιος
Βασσάλος, Παρασκευάς
Βραχάτης, Μιχαήλ
Καρακατσάνη, Φωτεινή
Τσατσόμοιρος, Μιχαήλ
Ψαρράκος, Παναγιώτης
General Description / Additional Comments
Institution and School/Department of submitter
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Table of contents
Sponsor
Bibliographic citation
Βιβλιογραφία: σ. 93-98
Name(s) of contributor(s)
Number of Pages
98 σ.
Course details
Collections
Endorsement
Review
Supplemented By
Referenced By
Creative Commons license
Except where otherwised noted, this item's license is described as Attribution-NonCommercial-NoDerivs 3.0 United States