Global in time smooth solutions for the Euler equation
Φόρτωση...
Ημερομηνία
Συγγραφείς
Papanikolaou, Panagiota
Παπανικολάου, Παναγιώτα
Τίτλος Εφημερίδας
Περιοδικό ISSN
Τίτλος τόμου
Εκδότης
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Περίληψη
Τύπος
Είδος δημοσίευσης σε συνέδριο
Είδος περιοδικού
Είδος εκπαιδευτικού υλικού
Όνομα συνεδρίου
Όνομα περιοδικού
Όνομα βιβλίου
Σειρά βιβλίου
Έκδοση βιβλίου
Συμπληρωματικός/δευτερεύων τίτλος
Περιγραφή
In the first chapter of this thesis our aim is to examine some basic concepts of
fluid mechanics,and to derive the Euler and Navier-Stokes equations. We will consider
also a local decomposition of the velocity field. Then, we will use matrices to write the
equations and we will derive the vorticity equation for three and two spatial dimensions.
In the second chapter we will deal with two important formulations of the Navier-
Stokes and the Euler equation, the formulation by Leray, which will play a crucial role
in the proof of the existence of smooth solutions, and the vorticity-stream formulation,
where we also introduce the Biot-Savart law which links the velocity field to its vorticity
through an integral operator.
In the third chapter, we will present some properties of solutions, provided of course
any solutions exist, and we will see some exact solutions to the equations.
In the fourth and fifth chapter we present the basic results of this thesis. In the
fourth chapter we discuss the existence of smooth solutions locally in time, while in the
fifth chapter we prove the well known Beale-Kato-Majda criterion and we apply it in
order to extend the solutions globally in time in two dimensions.
The present thesis does not have preliminaries or an appendix, since everything we
will use will be proven in each chapter.
We note that this thesis is mainly based on the book of A. Majda and A. Bertozzi,
Vorticity and Incompressible flow, Cambridge University Press, 2002. See [30]
Στο πρώτο κεφάλαιο της διατριβής σκοπός μας είναι να δούμε κάποια βασικά στοιχεία της μηχανικής των ρευστών καθώς και την εξαγωγή των εξισώσεων Euler και Navier-Stokes. Θα ασχοληθούμε επίσης με την τοπική ανάλυση του πεδίου ταχύτητας και θα γράψουμε τις εξισώσεις με τη χρήση πινάκων και θα εξαγάγουμε την εξίσωση του στροβιλισμού στις τρείς και στις δύο χωρικές διαστάσεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα δούμε δύο σημαντίκες ισοδύναμες διατυπώσεις των εξισώσεων Navier-Stokes και Euler. Την διατύπωση του Leray, διατύπωση, η οποία θα παίξει σημαν- τικό ρόλο στην απόδειξη της ύπαρξης λύσεων και τη διατύπωση στροβιλισμού-ροής, όπου θα εισάγουμε και τον νόμο Biot-Savart που συνδέει το πεδίο της ταχύτητας με το πεδίο στροβιλισμού του μέσω ενός ολοκληρωτικού τελεστή. Στο τρίτο κεφάλαιο θα μιλήσουμε για κάποιες βασικές ιδιότητες των λύσεων, αν αυτές υπάρχουν, και θα βρούμε κάποιες βασικές οικογένειες λύσεων. Στο τέταρτο και πέμπτο κεφάλαιο βρίσκονται τα βασικά αποτελέσματα της διατριβής. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στην ύπαρξη λείων λύσεων τοπικά στον χρόνο, ενώ στο πέμπτο κεφάλαιο αποδεικνύουμε το κριτήριο των Beale-Kato-Majda και το εφαρμόζουμε για την επέκταση των λύσεων ολικά στον χρόνο στις δύο διαστάσεις. Σε αυτή τη διατριβή δεν υπάρχει προκαταρκτικό κεφάλαιο ή παράρτημα καθώς οτιδήποτε χρησιμοποιούμε και χρήζει απόδειξης, θα αποδεικνύεται στο εκάστοτε κεφαλαιο. Σημειώνουμε οτι η διατριβή έχει στηριχθεί κυρίως στο βιβλίο των A. Majda και A. Bertozzi, Vorticity and Incompressible flow, Cambridge University Press, 2002. Βλέπε [30]
Στο πρώτο κεφάλαιο της διατριβής σκοπός μας είναι να δούμε κάποια βασικά στοιχεία της μηχανικής των ρευστών καθώς και την εξαγωγή των εξισώσεων Euler και Navier-Stokes. Θα ασχοληθούμε επίσης με την τοπική ανάλυση του πεδίου ταχύτητας και θα γράψουμε τις εξισώσεις με τη χρήση πινάκων και θα εξαγάγουμε την εξίσωση του στροβιλισμού στις τρείς και στις δύο χωρικές διαστάσεις. Στο δεύτερο κεφάλαιο θα δούμε δύο σημαντίκες ισοδύναμες διατυπώσεις των εξισώσεων Navier-Stokes και Euler. Την διατύπωση του Leray, διατύπωση, η οποία θα παίξει σημαν- τικό ρόλο στην απόδειξη της ύπαρξης λύσεων και τη διατύπωση στροβιλισμού-ροής, όπου θα εισάγουμε και τον νόμο Biot-Savart που συνδέει το πεδίο της ταχύτητας με το πεδίο στροβιλισμού του μέσω ενός ολοκληρωτικού τελεστή. Στο τρίτο κεφάλαιο θα μιλήσουμε για κάποιες βασικές ιδιότητες των λύσεων, αν αυτές υπάρχουν, και θα βρούμε κάποιες βασικές οικογένειες λύσεων. Στο τέταρτο και πέμπτο κεφάλαιο βρίσκονται τα βασικά αποτελέσματα της διατριβής. Στο τέταρτο κεφάλαιο αναφερόμαστε στην ύπαρξη λείων λύσεων τοπικά στον χρόνο, ενώ στο πέμπτο κεφάλαιο αποδεικνύουμε το κριτήριο των Beale-Kato-Majda και το εφαρμόζουμε για την επέκταση των λύσεων ολικά στον χρόνο στις δύο διαστάσεις. Σε αυτή τη διατριβή δεν υπάρχει προκαταρκτικό κεφάλαιο ή παράρτημα καθώς οτιδήποτε χρησιμοποιούμε και χρήζει απόδειξης, θα αποδεικνύεται στο εκάστοτε κεφαλαιο. Σημειώνουμε οτι η διατριβή έχει στηριχθεί κυρίως στο βιβλίο των A. Majda και A. Bertozzi, Vorticity and Incompressible flow, Cambridge University Press, 2002. Βλέπε [30]
Περιγραφή
Λέξεις-κλειδιά
Euler equation, Global solutions, Beale-Kato-Majda blow up criterion
Θεματική κατηγορία
Partial differential equations
Παραπομπή
Σύνδεσμος
Γλώσσα
en
Εκδίδον τμήμα/τομέας
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών
Όνομα επιβλέποντος
Giannoulis, Ioannis
Εξεταστική επιτροπή
Πουρναράς, Ιωάννης
Purnaras, Ioannis
Μαυρίδης, Κυριάκος
Mavridis, Kyriakos
Γιαννούλης, Ιωάννης
Giannoulis, Ioannis
Purnaras, Ioannis
Μαυρίδης, Κυριάκος
Mavridis, Kyriakos
Γιαννούλης, Ιωάννης
Giannoulis, Ioannis
Γενική Περιγραφή / Σχόλια
Ίδρυμα και Σχολή/Τμήμα του υποβάλλοντος
Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Σχολή Θετικών Επιστημών
Πίνακας περιεχομένων
Χορηγός
Βιβλιογραφική αναφορά
Ονόματα συντελεστών
Αριθμός σελίδων
219